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EXERCICE 1 (5 points) Une fabrique de desserts dispose d’une chaˆıne automatis´ee pour remplir des pots de cr`eme glac´ee. La masse en grammes de cr`eme glac´ee contenue dans chacun des pots peut ˆetre mod´elis´ee par une variable al´eatoire X qui suit la loi normale d’esp´erance 100 et d’´ecart type 0,43.
EXERCICE 1 (5 points) Une fabrique de desserts dispose d’une chaˆıne automatis´ee pour remplir des pots de cr`eme glac´ee. La masse en grammes de cr`eme glac´ee contenue dans chacun des pots peut ˆetre mod´elis´ee par une variable al´eatoire X qui suit la loi normale d’esp´erance 100 et d’´ecart type 0,43. 1. Afin de contrˆoler le remplissage des pots, le responsable qualit´e souhaite disposer de certaines probabilit´es. Le tableau ci-dessous pr´esente le calcul, effectu´e `a l’aide d’un tableur, des probabilit´es de quelques ´ev´enements pour une loi normale d’esp´erance 100 et d’´ecart type 0,43. a p(X ! a) a p(X ! a) a p(X ! a) 98 0,00000165 99,5 0,12245722 101 0,98997955 98,5 0,00024299 100 0,50000000 101,5 0,99975701 99 0,01002045 100,5 0,87754278 102 0,99999835 Les r´esultats seront donn´es `a 10 −2 pr`es. Pour les calculs de probabilit´es, on utilisera ´eventuellement le tableau pr´ec´edent ou la calculatrice. (a) D´eterminer la probabilit´e de l’´ev´enement « X > 99 » . (b) D´eterminer la probabilit´e de l’´ev´enement « 99 ! X ! 101 » . (c) Le pot est jug´e conforme lorsque la masse de cr`eme glac´ee est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. D´eterminer la probabilit´e pour qu’un pot pr´elev´e al´eatoirement soit non conforme. 2. Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la chaˆıne de production, on admet que la proportion p de pots conformes dans la production est 98%. (a) L’intervalle de fluctuation asymptotique `a 95 % de la fr´equence des pots conformes sur un ´echantillon de taille n est p(1 p) p(1 p) I = p 1,96 − , p+1,96 − . − # n # n D´eterminer les bornes de l’intervalle I pour un ´echantillon de taille 120. (b) On contrˆole r´eguli`erement la chaˆıne de production en pr´elevant des ´echantillons de 120 pots de mani`ere al´eatoire. Au cours d’un de ces contrˆoles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l’intervalle de fluctuation pr´ec´edent, prendra-t-on la d´ecision d’effectuer des r´eglages sur la chaˆıne de production? 13MA2DSPME1 Page 2/6 EXERCICE 2 (5 points) ° On ´eteint le chauffage dans une pi`ece d’habitation `a 22 h. La temp´erature y est alors de 20 C. Le but de ce probl`eme est d’´etudier l’´evolution de la temp´erature de cette pi`ece, puis de calculer l’´energie dissip´ee a` l’ext´erieur, au cours de la nuit, de 22 h `a 7 h le lendemain matin. On suppose, pour la suite du probl`eme, que la