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18MA2DSPAG1 EXERCICE n°1 (3 points) Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d’un mélange de ciment, de granulats et d’eau. Selon l’usage prévu (dalle, poutre, fondation …), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s’intéresse au béton adapté à la construction d’une dalle
18MA2DSPAG1 EXERCICE n°1 (3 points) Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d’un mélange de ciment, de granulats et d’eau. Selon l’usage prévu (dalle, poutre, fondation …), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s’intéresse au béton adapté à la construction d’une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée (cid:1872) de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction (cid:1858), définie et dérivable sur l’intervalle (cid:4670)0 ;(cid:3397)∞(cid:4670), qui est une solution sur (cid:4670)0 ;(cid:3397)∞(cid:4670) de l'équation différentielle (E) : (cid:1877)(cid:4593) (cid:3397)0,15(cid:1877) (cid:3404) 4,5. 1. Résoudre l’équation différentielle (E) sur (cid:4670)0 ;(cid:3397)∞(cid:4670). 2. À l'instant (cid:1872) (cid:3404) 0, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que (cid:1858) est définie sur (cid:4670)0 ;(cid:3397)∞(cid:4670) par (cid:3404) (cid:3397)30 . 3. Déterminer lim et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à 12 MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ? 2/7 18MA2DSPAG1 EXERCICE n°2 (7 points) On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l’on souhaite peindre. On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de . Partie A On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l’axe de symétrie à l'aide de la fonction (cid:1858) définie et dérivable sur l’intervalle (cid:4670)0 ;2(cid:4671) par : (cid:3404) où a et b sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative (cid:2269) de (cid:1858) dans un repère orthonormal d’unité 1 mètre. 3/7 18MA2DSPAG1 (cid:2269) On sait que la courbe (cid:2269) passe par les points A(cid:4666)2 ;0(cid:4667) et H(cid:4666)0 ;2(cid:4667) . 1. Déterminer et . 2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels a et b. 3. Déterminer l’expression de . Partie B On considère maintenant que la fonction (cid:1858) est définie et dérivable sur l’intervalle (cid:4670)0 ;2(cid:4671) par : (cid:3404) (cid:4666)0,5 (cid:1876)(cid:2870) (cid:3398)2(cid:1876) 1. Calculer 2. Montrer que la tangente à la courbe (cid:2269) au point A est l’axe des abscisses. 3. Justifier que le signe de est donné par le signe du trinôme (cid:3398)0,5