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19MA2DSPPO1 EXERCICE n°1 (5 points) : Température extérieure T En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C . Température La température extérieure est notée (cid:1846) . intérieure Dans tout l’exercice, on suppose que (cid:1846) (cid:3407) 20 . initiale 20 °C Lorsque le chauffage est coupé, la
19MA2DSPPO1 EXERCICE n°1 (5 points) : Température extérieure T En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C . Température La température extérieure est notée (cid:1846) . intérieure Dans tout l’exercice, on suppose que (cid:1846) (cid:3407) 20 . initiale 20 °C Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur. On modélise cette situation par une suite (cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) dont le terme général (cid:1873) désigne la température (cid:3041) (cid:3041) intérieure de la maison (cid:1866) heures après la coupure du chauffage. Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure (cid:1846) constante, on admet que, pour tout entier naturel (cid:1866) : (cid:3021) (cid:1873) (cid:3404) 0,99 (cid:1873) (cid:3397) et (cid:1873) (cid:3404) 20 . (cid:3041) (cid:2868) Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A On suppose que la température extérieure (cid:1846) est égale à 0 °C. On a donc (cid:1846) (cid:3404) 0 . 1. Calculer les termes (cid:1873) et (cid:1873) . (cid:2869) (cid:2870) 2. Montrer que, dans ce cas, la suite (cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) est une suite géométrique dont on précisera le (cid:3041) premier terme et la raison. 3. Pour tout entier naturel (cid:1866), exprimer (cid:1873) en fonction de (cid:1866) . (cid:3041) 4. Déterminer la limite de la suite (cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) . Justifier. (cid:3041) 5. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation (cid:1873) (cid:3407) 5 . (cid:3041) b) En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5 °C. 2/6 19MA2DSPPO1 Partie B On suppose que la température extérieure (cid:1846) est égale à (cid:3398)15 °C. On a donc (cid:1846) (cid:3404) (cid:3398)15 . 1. Montrer que, dans ce cas, la suite (cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) est définie pour tout entier naturel (cid:1866) par : (cid:3041) (cid:1873) (cid:3404) 0,99 (cid:1873) (cid:3398)0,15 et (cid:1873) (cid:3404) 20 . (cid:3041) (cid:2868) 2. a) Calculer les termes (cid:1873) et (cid:1873) . (cid:2869) (cid:2870) b) Dans ce cas, la suite (cid:4666)(cid:1873) (cid:4667) est-elle géométrique ? Justifier la réponse. (cid:3041) 3. On souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, le nombre U ← 20 d’heures à partir duquel la température intérieure devient N ← 0 strictement inférieure à 5 °C. On utilise pour cela l’algorithme Tant que …… incomplet ci-contre dans lequel U désigne un nombre réel et N un U ← ….. nombre entier naturel. N ← ….. Fin Tant que a) Recopier et compléter l’algorithme. b) À l’aide