Sujet STI2D — Terminale — Métropole — Bac 2023

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques) Le viscosimètre à chute de bille La viscosité d’une huile, notée η, est un paramètre exprimé en kgm-1s-1, dont la connaissance est essentielle pour toute utilisation de cette huile. Cet exercice propose un exemple de méthode de mesure de la valeur de la viscosité d’une huile de moteur Diesel du commerce. Pour réaliser cette mesure, on utilise un « viscosimètre à chute de bille », constitué d’une éprouvette remplie d’huile de moteur dans laquelle est lâchée une bille métallique sphérique. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et la bille est lâchée sans vitesse initiale depuis la position 𝑧 = 0. Z Données : - Rayon de la bille utilisée : 𝑅 = 1,1 cm. - Volume de la bille : 𝑉 = 5,6 cm3 = 5,6 × 10−6 m3. - Masse de la bille métallique : 𝑚 = 20,1 g. - Masse volumique de l’huile étudiée : 𝜌 = 8,40  102 kgm-3. ℎ𝑢𝑖𝑙𝑒 - Intensité de la gravitation : 𝑔 = 9,8 ms-2. Les forces exercées sur la bille métallique sont : - Le poids 𝑃⃗ - La poussée d’Archimède, notée 𝑃⃗⃗⃗⃗ , de même direction que le poids 𝑃⃗ et de sens 𝐴 opposé. Sa valeur est 𝑃 = 𝜌 𝑉𝑔, où 𝜌 est la masse volumique de l’huile. 𝐴 ℎ𝑢𝑖𝑙𝑒 ℎ𝑢𝑖𝑙𝑒 - La force de frottement fluide exercée par l’huile sur la bille est notée 𝑓 . Elle est ici de même direction que le poids 𝑃⃗ et de sens opposé. Sa valeur est donnée par la relation 𝑓 = 6πη𝑅𝑣, où 𝑣 est la valeur de la vitesse de la bille, η est la viscosité de l’huile et R le rayon de la bille. 23-2DPCMAME1 Page : 2/10 Q1. Faire un schéma des forces s’appliquant sur la bille. Exprimer le poids de la bille en fonction de 𝑚 et 𝑔 puis calculer sa valeur. Calculer de même la valeur de la poussée d’Archimède 𝑃 et justifier que la bille d’acier 𝐴 tombe dans l’huile quand on la lâche en 𝑧 = 0 avec une vitesse initiale nulle. Q2. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, établir la relation liant le vecteur accélération 𝑎 , les forces s’exerçant sur la bille 𝑓 , 𝑃⃗⃗⃗ , ⃗⃗𝑃⃗⃗⃗ et la masse 𝑚 de 𝐴 cette bille. Q3. On note 𝑣 la fonction définie sur [0 ; +∞[ comme