Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2011

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats (cid:71) (cid:71) ( ) Le plan est muni d’un repère orthonormal O;i, j d’unité graphique 2 cm. On s’intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l’ensemble des réels R par f(x)=−1+xex. (cid:71) (cid:71) ( ) On note c sa courbe représentative dans le repère O;i, j . 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . b. Déterminer la limite de la fonction f en – ∞ . Interpréter graphiquement cette limite. (On rappelle le résultat : lim xex =0) x→−∞ 2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f ' sa fonction dérivée. a. Montrer que, pour tout nombre réel x on a f '(x)=(x+1)ex. b. Dresser le tableau de variation de la fonction f (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10−2). 3. Justifier que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 1]. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2. 4. Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe c au point d’abscisse 0 est y = x−1. (cid:71) (cid:71) ( ) 5. Dans le repère O;i, j tracer la droite T et la courbe c . Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe c par rapport à la droite T ? 6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Justifier la conjecture émise à la question 5. 11MAOEPO3 Page : 2/5 Exercice 2 (5 points) Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité. Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants : • 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif ; • parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio ; • parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio. On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d’être choisis) et on note : T l’événement « le ménage pratique le tri sélectif » et T son événement contraire ; B l’événement « le ménage consomme des produits bio » et B son événement contraire. Les résultats seront donnés sous forme décimale. 1. a. Donner sans justification la probabilité p(T) de l’événement T.