Sujet Mathématiques — Terminale — Liban — Bac 2019

Exercice 1 ( 4 points ) Commun à tous les candidats. Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. 1. Soit 𝑢 la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : 𝑢(𝑥) = 3ln(𝑥)−2𝑥 +1. Soit 𝐶 la courbe représentative de la fonction 𝑢 dans un repère. 𝑢 Affirmation 1 : 𝑦 = 𝑥−2 est l’équation réduite de la tangente à 𝐶 au point 𝑢 d'abscisse 1. 2. Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [e ;e2] par : 𝑓(𝑥) = 1 ln(𝑥). e2 On admet que la fonction 𝑥 ⟼ 𝑥ln(𝑥)−𝑥 est une primitive de la fonction 𝑥 ↦ ln(𝑥) sur l’intervalle [e ;e2]. Affirmation 2 : 𝑓 est une fonction de densité sur l’intervalle [e ;e2]. 3. Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 3e−2𝑥+1. Affirmation 3 : La fonction G définie sur ℝ par G(𝑥) = −6e−2𝑥+1 +6 est la 1 primitive de 𝑔 qui s'annule en . 2 4𝑥+1 4. Soit ℎ la fonction définie sur l’intervalle [−8 ; −0,5] par : ℎ(𝑥) = . 𝑥2 Affirmation 4 : La fonction ℎ est concave sur l’intervalle [−8 ; −0,75]. 19MAELLI1 2 / 5 Exercice 2 ( 5 points ) Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L. La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d'Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d'Ardèche donne les estimations suivantes : Date 01/06/18 02/06/18 03/06/18 𝑛 0 1 2 Nombre de chenilles en centaines 97 181 258 L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles. Partie 1 : Modèle 1 Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le 𝑛-ième jour après le 1er juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique (𝑢 ) de raison 𝑛 𝑞 = 1,63. Ainsi 𝑢 = 97. 0 1. Calculer 𝑢 . Arrondir à l’unité. 2 2. Exprimer 𝑢 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛. 𝑛 3. Justifier que la suite (𝑢 ) est croissante. 𝑛 4. Selon ce modèle, quel sera le