Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2012

EXERCICE 1 (5 points) Commun `a tous les candidats Cet exercice est un questionnaire `a choix multiples (QCM). Pour chacune des questions sui- vantes, une seule des quatre r´eponses propos´ees est exacte. Une r´eponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise r´eponse ou l’absence de r´eponse n’ajoute ni n’enl`eve aucun point. Indiquer sur la copie le num´ero de la question et la r´eponse choisie correspondante. La fonction f est d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par f (x) = e x − x + 1. On admet qu’elle est d´erivable sur l’ensemble des nombres r´eels. On appelle Γ la courbe repr´esentative de la fonction f dans le plan muni d’un rep`ere orthonor- mal. 1. L’image de ln2 par la fonction f est : 1 • +ln2 2 •− 1+ln2 • 3−ln2 • 1−2ln2 2. Le coefficient directeur de la tangente `a la courbe Γ au point d’abscisse 1 est : • e−1 • e • 1−e • 0 3. La limite de la fonction f en −∞ est : • −∞ • 0 • +∞ • 1 4. Une primitive sur l’ensemble des nombres r´eels de la fonction f est la fonction F d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par : • F (x) = e x −1 1 • F (x) = e x − x2 +x 2 1 • F (x) = e2x − x2 +x 2 1 • F (x) = e2x −1 2 5. L’in´equation f(x) ! 1 admet sur l’ensemble des nombres r´eels : • Aucune solution • Une solution • Deux solutions • Une infinit´e de solutions 12MAESSME3 Page 2/6 EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de sp´ecialit´e Pour jouer sur internet `a un certain jeu la souscription d’un abonnement annuel est obligatoire. A partir d’un sondage, on pr´evoit que : – 80 % des abonn´es renouvellent chaque ann´ee leur abonnement, – le nombre de nouveaux abonn´es sera de 20000 tous les ans. 1. Au premier janvier 2012, on comptait 50000 abonn´es `a ce jeu en ligne. Selon ce mod`ele, justifier qu’au premier janvier 2013 le nombre d’abonn´es sera ´egal `a 60000. 2. (a) Justifier que le nombre d’abonn´es au premier janvier de l’ann´ee 2012 + n est mod´elis´e par la suite (a n) d´efinie par : a = 50000  0  pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,8a n +20000  (b) Calculer a et a . 2 3