Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2019

Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. 1. Pour tout événement (cid:1831), on note (cid:1831)(cid:3364) l’événement contraire de (cid:1831). On considère l’arbre pondéré suivant : Affirmation 1 : La probabilité de (cid:1844)(cid:3364) sachant (cid:1845) est 0,06. 2. Soit (cid:1863) un réel tel que 0 (cid:3409) (cid:1863) (cid:3407) 18. Soit (cid:1850) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [(cid:1863) ; 18]. On suppose que l’espérance de (cid:1850) est égale à 12. Affirmation 2 : La valeur de (cid:1863) est 9. 3. On considère l’équation suivante : (cid:1876)(cid:2873) (cid:4679)+ln(2) = ln(2(cid:1876))+5 e (cid:2869) Affirmation 3 : est l’unique solution de cette équation. (cid:2915) 4. Soit (cid:1858) une fonction dérivable sur l’intervalle [0 ;15]. On suppose que sa fonction dérivée, notée (cid:1858)(cid:4593), est continue sur [0 ;15]. Les variations de (cid:1858)(cid:4593) sont représentées dans le tableau ci-dessous. (cid:1876) 0 5 15 30 20 (cid:1858)′((cid:1876)) −5 Affirmation 4 : La courbe représentative (cid:1829) de la fonction (cid:1858) admet une et une (cid:3033) seule tangente parallèle à l’axe des abscisses. Affirmation 5 : La fonction (cid:1858) est convexe sur [5 ;15]. 19MAESSMLR1 Page 2/8 Exercice 2 (5 points) Candidats de ES ayant suivi la spécialité Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires. Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de 0,6. Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de 0,2. Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide. On note : • (cid:1830) l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ; • (cid:1844) l’événement « Julie emprunte la voie rapide ». 1. a) Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés (cid:1830) et (cid:1844). b) Donner la matrice d’adjacence (cid:1839) correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique. 2. Pour tout entier (cid:1866) supérieur ou égal à 1, l’état probabiliste le (cid:1866)-ième jour est défini par la matrice (cid:1842) = ((cid:1856) (cid:1870) ) où (cid:1856) désigne la probabilité que Julie (cid:3041) (cid:3041) (cid:3041) (cid:3041) emprunte les routes départementales le (cid:1866)-ième jour et (cid:1870) la probabilité que (cid:3041) Julie emprunte la