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Baccalaur´eat de sp´ecialit´e Polyn´esie juin 2008 Exercice 1 4 points Pour un jeu, on dispose de deux urnes. La premi`ere urne contient 6 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est ´ecrite une lettre, les 6 lettres permettant de reconstituer le pr´enom MARGOT. La seconde urne contient 7
Baccalaur´eat de sp´ecialit´e Polyn´esie juin 2008 Exercice 1 4 points Pour un jeu, on dispose de deux urnes. La premi`ere urne contient 6 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est ´ecrite une lettre, les 6 lettres permettant de reconstituer le pr´enom MARGOT. La seconde urne contient 7 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est ´ecrite une lettre, les 7 lettres permettant de reconstituer le pr´enom JUSTINE. Le jeu se d´eroule en deux ´etapes : E´tape 1 : On prend au hasard une boule de la premi`ere urne et on regarde la lettre tir´ee. E´tape 2 : - Si la lettre tir´ee est une voyelle, on tire au hasard la deuxi`eme boule dans la premi`ere urne, la premi`ere boule tir´ee n’´etant pas remise en jeu. On regarde la seconde lettre tir´ee. - Si la lettre tir´ee est une consonne, on tire au hasard la deuxi`eme boule dans la deuxi`eme urne. On regarde la seconde lettre tir´ee. On consid`ere les deux ´ev´enements : • V1 «la premi`ere lettre tir´ee est une voyelle »; • V2 «la deuxi`eme lettre tir´ee est une voyelle ». 1. Calculer la probabilit´e que la premi`ere lettre tir´ee soit une voyelle. 2. Calculer la probabilit´e quela deuxi`eme lettre tir´ee soit unevoyelle sachant quela premi`ere estuneconsonne. 3. Reproduire et compl´eter l’arbre suivant : V2 V1 V2 V2 V1 V2 37 4. Montrer que la probabilit´e que la deuxi`eme lettre tir´ee soit une voyelle est . 105 5. On suppose que la deuxi`eme lettre est une voyelle. Quelle est la probablilit´e que la premi`ere lettre tir´ee soit une voyelle? Exercice 2 6 points e 2x −1 On consid`ere la fonction f d´efinie par f(x)= pour tout nombre r´eel x de [0; +∞[. e2x +1 on note (C) sa courbe repr´esentative dans le rep`ere (Ox,Oy). 1. Calculer f(0) et justifier que f(ln3) = 0,8. 2x 4e ′ ′ 2. a) On note f la fonction d´eriv´ee de f. D´emontrer que pour r´eel x positif, f (x) = . (e2x +1)2 b) D´eterminer le sens de variation de la fonction f sur [0; +∞[. ′ c) Calculer f (0), puis donner une ´equation de la tangente (∆) `a la courbe (C) au point d’abscisse 0. −2 3. a) E´tablir que, pour tout nombre r´eel x positif, f(x)−1 = . e2x+1 b) En d´eduire que, pour tout nombre r´eel x positif, f(x) < 1. 4. Les quatre