Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2012

Exercice 1 (5 points) Un club a 100 adhérents. Leur répartition est décrite dans le tableau suivant ci-dessous : Hommes Femmes Marié(e)s 48 27 Célibataires 12 13 On choisit un adhérent au hasard. On considère les événements :  H l’événement : « l’adhérent choisi est un homme » ;  F l’événement : « l’adhérent choisi est une femme » ;  M l’événement : « l’adhérent choisi est marié » ;  C l’événement : « l’adhérent choisi est célibataire ». Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque probabilité. 1. Calculer la probabilité de l’événement F ainsi que celle de l’événement M. 2. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit marié sachant que c’est une femme. Les événements F et M sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 3. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit un homme sachant qu’il est célibataire. 2/6 12MALIME1 Exercice 2 (4 points) Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soient f , g et h trois fonctions définies sur 0; par : 1 1 f(x)  (x1)ln ( x1), g(x) 0,5e x et h(x)  2 2 x2 On note (C ), (C ) et (C ) les courbes représentatives de f , g et h dans le plan muni d’un f g h   repère orthonormé (O; i, j). On note f  la fonction dérivée de f . 1   1. Soit A le point de coordonnées (0 ; ) dans le repère (O; i, j). Démontrer que le point A est 2 commun aux trois courbes (C ), (C ) et (C ). f g h x1 2. Démontrer que, pour tout nombre réel positif x, f (x)  . 2(x1) 3. Démontrer que les trois courbes (C ), (C ) et (C ) admettent la même tangente au point A. f g h 4. Démontrer qu’une seule des trois fonctions f , g et h n’est pas décroissante sur 0;. 3/6 12MALIME1 Exercice 3 (6 points) Pour tout entier naturel non nul n, on note u(n) le nombre entier naturel qui s’écrit dans le système décimal avec n chiffres tous égaux à 1. Par exemple u(3) est égal à 111. 1. Existe t-il un entier n tel que u(n) soit divisible par 2 ? Justifier la réponse. 2. Donner une condition