Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2017

EXERCICE 1 (5 points) C La courbe trace´e ci-dessous dans un repe`re orthonorme´ d’origine O est la repre´sentation graphique d’unefonction f de´finieet de´rivablesur l’intervalle ]0;10]. y 6 b R 5 4 Q D b P 3 b C 2 1 e x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 On conside`re lespoints P(1;3)etR(4;6). Lepoint Qa pourabscisse e,avece ≃ 2,718. C D Les points P et Q appartiennent a` la courbe . La droite est paralle`le a` l’axe des abscisses et passe parle pointQ. La droite (PR) est tangente a` la courbe C au point P et la droite D est tangente a` la courbe C au point Q. ′ On rappelleque f de´signela fonction de´rive´ede lafonction f. LespartiesA etB sont inde´pendantes. Partie A 1. (a) y = 2x+1 (b) y = x+2 (c) y = 2x+2 ′ 2. Donner lesvaleursde f (1)et f (1). 17MAELPO3 page 2/10 3. Une seulede cestrois propositions estexacte : (a) f estconvexe surl’intervalle ]0;10]; (b) f estconcave sur l’intervalle ]0;10]; (c) f n’estniconvexe ni concave surl’intervalle ]0;10]. Laquelle? 2 4. Encadrer l’inte´grale f (x)dx Z 1 Partie B La courbe C estla repre´sentation graphique dela fonction f de´finiesur l’intervalle ]0;10]par: f (x) = − xlnx+2x+1. ′ 1. a) Calculer f (x). b) De´montrer que lafonction f admetun maximum surl’intervalle ]0;10]. c) Calculerlavaleur exacte dumaximum dela fonction f surce meˆmeintervalle. 2. Montrer que la courbe C est entie`rement situe´e en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0;10]. x2 5 3. On admet que la fonction F de´finie par F(x) = − lnx + x2 + x − 7 est une primitive de la 2 4 fonction f sur l’intervalle]0;10]. 2 Calculerla valeurexacte de f (x)dx. Z 1 17MAELPO3 page 3/10 EXERCICE 2 (5 points) On conside`re la fonction f de´finie surl’intervalle [1;10]par: f (x) = 4e −0,5x+1+x − 1 ′ On admetque lafonction f estde´rivable sur l’intervalle [1;10]et on note f sa fonction de´rive´e. C delafonction f sur l’intervalle [1;10]dansun repe`re d’origine O. Partie A 1. De´montrer quepour tout nombre re´elx de l’intervalle [1;10]on a: f ′ (x) = − 2e −0,5x+1+1. ′ 2. a) Montrer que sur l’intervalle [1;10], l’e´quation f (x) = 0 admet pour unique solution le nombre α = 2+2ln2. b) Placersur legraphique fourni en annexepage 10 lepoint dela courbe C d’abscisse α. 3. On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle [1;10] de