Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2019

Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. 1. Pour tout événement (cid:1831), on note (cid:1831)(cid:3364) l’événement contraire de (cid:1831). On considère l’arbre pondéré suivant : Affirmation 1 : La probabilité de (cid:1844)(cid:3364) sachant (cid:1845) est 0,06. 2. Soit (cid:1863) un réel tel que 0 (cid:3409) (cid:1863) (cid:3407) 18. Soit (cid:1850) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [(cid:1863) ; 18]. On suppose que l’espérance de (cid:1850) est égale à 12. Affirmation 2 : La valeur de (cid:1863) est 9. 3. On considère l’équation suivante : (cid:1876)(cid:2873) (cid:4679)+ln(2) = ln(2(cid:1876))+5 e (cid:2869) Affirmation 3 : est l’unique solution de cette équation. (cid:2915) 4. Soit (cid:1858) une fonction dérivable sur l’intervalle [0 ;15]. On suppose que sa fonction dérivée, notée (cid:1858)(cid:4593), est continue sur [0 ;15]. Les variations de (cid:1858)(cid:4593) sont représentées dans le tableau ci-dessous. (cid:1876) 0 5 15 30 20 (cid:1858)′((cid:1876)) −5 Affirmation 4 : La courbe représentative (cid:1829) de la fonction (cid:1858) admet une et une (cid:3033) seule tangente parallèle à l’axe des abscisses. Affirmation 5 : La fonction (cid:1858) est convexe sur [5 ;15]. 19MAELMLR1 Page 2/7 Exercice 2 (5 points) Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu’il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence éliminera 4 % des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare. Pour tout entier naturel (cid:1866), on note (cid:1873) le nombre de pommiers par hectare l’année (cid:3041) 2018+(cid:1866). On a ainsi (cid:1873) = 300. (cid:2868) 1. a) Justifier que, pour tout entier naturel (cid:1866), on a (cid:1873) = 0,96(cid:1873) +22. (cid:3041) b) Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l’unité, en 2020. 2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant : (cid:1840) ← 0 (cid:1847) ← 300 Tant que (cid:1847)… (cid:1840) ← (cid:1840)+1 (cid:1847) ← ⋯ Fin Tant que a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus pour qu’il détermine le rang de l’année cherchée. b) Quelle est la valeur de (cid:1840) en sortie de l’algorithme ? 3. On définit la suite ((cid:1874) ) en posant (cid:1874) = (cid:1873) −550, pour tout entier naturel