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Durée:4heures EXERCICE1 4points Communàtouslescandidats 1. Lafonctionx7→ex ′=ϕ,et ϕ(0)=1. Soitaunréeldonné. a. Montrer que la fonction f définiesur R par f(x)=eax est solution de l’équationy ′=ay. b. Soitg unesolutiondel’équationy parh(x)=g(x)e c. ′=ay. 2. ′=2y+cosx. a. f définiesur 0 Rpar: f (x)=acosx+bsinx 0 soitunesolution f de(E). 0 b. 0) : y ′=2y. c.
Durée:4heures EXERCICE1 4points Communàtouslescandidats 1. Lafonctionx7→ex ′=ϕ,et ϕ(0)=1. Soitaunréeldonné. a. Montrer que la fonction f définiesur R par f(x)=eax est solution de l’équationy ′=ay. b. Soitg unesolutiondel’équationy parh(x)=g(x)e c. ′=ay. 2. ′=2y+cosx. a. f définiesur 0 Rpar: f (x)=acosx+bsinx 0 soitunesolution f de(E). 0 b. 0) : y ′=2y. c. Démontrerque f f −f estsolution 0 de(E 0). d. π e. =0. ³2´ EXERCICE2 5points →− →− LeplanP O, u, v . ³ ´ l’exercice. 1. On considèreles points A d’affixe1 et Bd’affixe i. Onappelle S la réflexion ′ Montrerquel’imageM z ′=−iz+1+i. 2. OnnoteH plexedeH. 3. Onnote f lacomposéeH◦S. a. Montrerque f estunesimilitude. b. f. ′′ 4. OnappelleM l’imaged’unpointMpar f. −−−→ −−→ a. ′′ =−2AM estladroite(AB). −−−→ −−→ b. duplantelsqueAM ′′ =2AM BaccalauréatS EXERCICE2 5points →− →− LeplanP O, u, v . ³ ´ ′ Soit f dePd’affixenonnullez associelepointM d’affixe: z ′= 1 z+ 1 . 2µ z¶ 1. SoitElepointd’affixez ′ ,imagedeEpar E f 2. ′=M. 3. a. z ′+1 z+1 2 = . z′−1 µz−1¶ ′ M B MB b. Endéduireuneexpressionde enfonctionde puisuneexpres- −−−→ −−−→ M′A M −− A → −−→ ′ ′ siondel’angle M A, M B enfonctiondel’angle MA, MB ³ ´ ³ ´ 4. Soit ∆la médiatricedusegment [A,B]. Montrerque si M estunpointde∆ distinctdupointO,alorsM ′ estunpointde∆. 5. a. ′ appartientàla droite(AB). b. f ? EXERCICE3 5points Communàtouslescandidats →− →− →− O, ı , , k . ³ ´ →− 1. 8; 4)etlevecteur u decoor- données(1; 5; −1). →− devecteurdirecteuru. 2. x−y−z=7etx−2z=11. ′ ). 1; ′ (d ). ′ 3. )nesontpascoplanaires. 4. ′ decoordon- nées(3; 0; −4). ′ ′ a. appartientà(d ). ′ ′ b. ). ′ c. ),c’est-à-direladistance ′ HH. −−−→ −−−→ 5. ′ ·HH ′ =126. AmériqueduSud 2 novembre2006 BaccalauréatS EXERCICE4 6points Communàtouslescandidats 1. Onconsidèrelafonction f définiesur[0; +∞[par 1 f (x)=2x−2+ln x2+1 . 1 ¡ ¢ a. Déterminerlalimitedef en+∞. 1 b. Déterminerladérivéedef . 1 c. . 1 2. ,définiesur[0;+∞[ n par ln x2+1 f (x)=2x−2+ . n ¡ n ¢ a. Déterminerlalimitedef en+∞. n b. Démontrerquelafonction f +∞[. n c. Démontrerquel’équation f sur n n [0;+∞[ d. 0<α <1. n 3. f n(α n+1)>0. 4. Étudedelasuite(α n) a. Montrerquelasuite(α n)estcroissante. b. ln α2+1 c. Utiliser l’expression α = 1− n pour déterminer la limite de n ¡2n ¢ cettesuite. AmériqueduSud 3 novembre2006