Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2009

Bac S – France – septembre 2009 Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Soit (cid:1) la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par (cid:1)(x) = ln(x2 + 4). PARTIE A 1) Étudier le sens de variation de la fonction (cid:1) sur l’intervalle [0 ; +¥[. 2) Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par g(x) = (cid:1)(x) – x. a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +¥[. b) Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équation g(x) = 0 admet une unique solution que l’on notera a. Donner la valeur arrondie de a à 10-1. c) Justifier que le nombre réel a est l’unique solution de l’équation (cid:1)(x) = x. PARTIE B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On considère la suite (u ) définie par u = 1 et pour tout entier naturel n par : u = (cid:1)(u ). n 0 n+1 n La courbe (cid:2) représentative de la fonction (cid:1) et la droite D d’équation y = x sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 1) À partir de u , en utilisant la courbe (cid:2) et la droite D, on a placé u sur l’axe des abscisses. 0 1 De la même manière, placer les termes u et u sur l’axe des abscisses en laissant 2 3 apparents les traits de construction. 2) Placer le point I de la courbe (cid:2) qui a pour abscisse a. 3) a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1 (cid:3) u (cid:3) a. n b) Démontrer que la suite (u ) converge. n c) Déterminer sa limite. S-France-obli-sept09 1 Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats L’espace est muni d’un repère orthonormal 1) On désigne par (cid:11) le plan d’équation x + y – 1 = 0 et par (cid:11)’ le plan d’équation y + z – 2 = 0. Justifier que les plans (cid:11) et (cid:11)’ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite (cid:12), (cid:4) x = 1 – t (cid:2) dont une représentation paramétrique est : (cid:3) y = t , où t désigne un nombre réel. (cid:2) (cid:1) z = 2 – t 2) a) Déterminer une équation du plan (cid:13) passant par