Sujet Mathématiques — Terminale — Pondichéry — Bac 2009

Exercice l (7 points) Commun à tous candidats ­ , .. C--..~I_.. ...~:--- ~ ! 1 1 1 1 Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0, + oo[ par: 1 1 ... 1 1 i f(x) x )- r--' 1 v i 1 : On désigne par C la courbe représentative de la fonction 1/ i'~, 1 1 1 oV/ i f (0; i,]) "'-­ ;--­ ----1 dans un repère orthonormal du plan. Cette 1 0 ... i 1 12 courbe est représentée ci-contre. 0 i 1 1 1 1 1 1 ! ! i 1 ! 1 Partie A f 1. a. Déterminer la limite de 1a fonction en +00 . x: ). d~ (On pourra écrire, pour x différent 0 : f(x) = 1 x x eX b. Démontrer que f admet un maximum en .fi et calculer ce maximum. 2 2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de a, l'aire F (a) de la ° partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x et x = a . Quelle est la limite de F (a) quand a tend vers +oo? Partie B ln-n +l On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par: un:;;;: f(x) dx. un . On ne cherchera pas à expliciter 1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1, un f(n+l)~ ~f(n) b. Quel est le sens de variation de la suite (u) ? n n::;'2 (un) c. Montrer que la suite converge. Quelle est sa limite? Ln~l 2. a. V érifier que, pour tout entier'naturel strictement positif n, F (n) == u k • k~O b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On donne ci-dessous les valeurs de F (n) obtenues à l'aide d'un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7. Interpréter ces résultats. Page 9MASOINl Exercice 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( 0; ~, ~) .On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit A, B et C les points d'affixes respectives: a = 3 - i, b 1-3i et c -1-i. 1. a. Placer ces points sur une figure que l'on complètera au