Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2010

Bac S – La Réunion – juin 2010 EXERCICE 1 : (6 points) Commun à tous les candidats Soit (cid:1) la fonction définie sur l’intervalle ]–1 ; +¥[ par (cid:1)(x) = 1 + ln(1 + x). On note (cid:2) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (cid:3)O(cid:4) (cid:5)(cid:6)(cid:7) (cid:8). (cid:1) On note D la droite d’équation y = x. Partie A 1) a) Étudier le sens de variation de la fonction (cid:1). b) Déterminer les limites de la fonction (cid:1) aux bornes de son ensemble de définition. 2) On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ]–1 ; +¥[ par g(x) = (cid:1)(x) – x. a) Déterminer lim g(x). xfi–1 ln(1 + x) b) Déterminer lim . En déduire limg(x). 1 + x xfi+¥ xfi+¥ c) Étudier le sens de variation de la fonction g, puis dresser le tableau de variations de la fonction g. d) Montrer que sur l’intervalle ]–1 ; +¥[ l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions a et (cid:1), avec a négative et (cid:1) appartenant à l’intervalle [2 ; 3]. e) À l’aide des questions précédentes, déterminer le signe de g(x). En déduire la position relative de la courbe (cid:2) et de la droite D. (cid:1) Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit (u ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : u = 2 et u = (cid:1)(u ). n 0 n+1 n 1) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 (cid:9) u (cid:9) (cid:1). n 2) La suite (u ) est-elle convergente ? Justifier la réponse. n S-LaReunion-obli-juin10 1 EXERCICE 2 : (4 points) Commun à tous les candidats Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Partie I : On dispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue. 1) Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient noires. 2) Soit l’évènement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même 7 couleur ». Démontrer que la probabilité de l’évènement C est égale à . 18 3) Calculer