Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2010

Exercice 1 (3 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1) On considère la suite (t ) définie pour tout entier naturel n par : n 1 t =0 et pour tout entier naturel n, t =t + . 0 n+1 n (n+1)(n+2) n Proposition 1 : Pour tout entier naturel n, t = . n n+1 2) On considère trois suites (u ), (v ) et (w ) définies sur N telles que : n n n pour tout entier naturel n, u  w  v . n n n Proposition 2 : Si les suites (u ) et (v ) sont adjacentes alors la suite (w ) est convergente. n n n [ ] 3) Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle 0,1 . Proposition 3 : Si ∫ 1 f(x)dx=∫ 1 g(x)dx alors f = g sur l’intervalle [ 0,1 ] . 0 0 10MAOSPO3 Page 2/6 Exercice 2 (5 points) (cid:1) (cid:1) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v) (unité : 1 cm). On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B, S et Ω d’affixes respectives a =- 2+ 4i, b=- 4+ 2i, s =- 5+ 5i et w =- 2+ 2i. Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h. 1) a) Déterminer l’écriture complexe de h. b) Démontrer que le point C a pour affixe c=4+2i et que le point D a pour affixe d =- 2- 4i. 2) Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 3) Démontrer que la droite (SΩ) est la médiatrice du segment [AB]. 4) Soit P le milieu du segment [AC]. a) Déterminer l’affixe p du point P. w - p 1 b) Démontrer que =- i . En déduire une mesure de l’angle BD;PΩ . d - b 2 5) Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point Ω pour le triangle PQS ? 10MAOSPO3 Page 3/6 Exercice 3 (5 points) Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables