Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2010

[ \ Baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 EXERCICE 1 6points Communàtouslescandidats Soita etb deuxréelstelsquea<b et f etg tervalle[a ; b b b • f(t)+g(t) dt = f(t)dt+ g(t)dt. Z Z Z a £ ¤ a a b • Sipourtoutt ∈[a ; b], f(t)>0alors f(t)dt >0. Z a b b Montrerque:sipourtoutt ∈[a ; b], f(t)6g(t)alors f(t)dt 6 g(t)dt. Z Z a a PartieB Soitn f lafonctiondéfiniesur[0; +∞[ n par f (x)=ln 1+xn n ¡ ¢ 1 etonposeI = ln 1+xn dx. n Z 0 ¡ ¢ →− →− OnnoteC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormal O, ı ,  . n n ³ ´ 1. a. Déterminerlalimitede f en+∞. 1 b. Étudierlesvariationsde f sur[0; +∞[. 1 c. I etinterprétergra- 1 phiquementlerésultat. (PourlecalculdeI 1 x 1 pourtoutx∈[0 ; 1], =1− ) x+1 x+1 2. a. 6ln2. n b. ) n c. Endéduirequelasuite(I )estconvergente. n 3. Soitg lafonctiondéfiniesur[0; +∞[par g(x)=ln(1+x)−x. a. sur[0; +∞[. b. En déduirele signede g sur [0 ; +∞[. Montreralors que pour tout entiernatureln nonnul,etpourtoutx réelpositif,ona ln 1+xn 6xn. ¡ ¢ c. ). n A.P.M.E.P. BaccalauréatS EXERCICE 2 5points →− →− →− O, ı ,  , k . ³ ´ Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et x = t+2 1. y = −2t , t ∈Restpa-  z = 3t−1 2. LesplansP,P ′ , P ′′ 2x+3y−2z=6 3. x = 2−3t x = 7+2u  y = 1+t , t ∈Ret y = 2+2u , u∈Rsontsécantes.  z = −3+2t  z = −6−u 4. Onconsidèrelespoints:  A,decoordonnées(−1; 0; 2),B,decoordonnées(1; 4; 0),etC,decoor- données(3; −4; −2). 5. Onconsidèrelespoints: A, de coordonnées (−1 ; 1 ; 3), B, de coordonnées (2 ; 1 ; 0), et C, de coordonnées(4; −1; 5). EXERCICE 2 5points Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indé- pendante. PartieA Dans cettepartie,on seproposed’étudierdes couples (a, b) d’entiersstricte- mentpositifs,telsque: a2=b3 Soit(a, b)untelcoupleetd =PGCD(a, b).Onnoteu etv lesentierstelsque a=du etb=dv. 1. Montrerqueu2=dv3. 2. Endéduirequev diviseu,puisquev =1. 3. Soit(a, Pondichéry 2 21avril2010 A.P.M.E.P. BaccalauréatS 4. Danscettequestion,toute trace Montrerquesi n est lecarréd’un nombreentiernaturelet lecubed’un autreentier,alorsn≡0 [7]oun≡1 [7]. PartieB →− →− →− Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère la ³ ´ surfaceS d’équationx2×y2=z3. Pourtoutréelλ,onnoteC lasectiondeS parlepland’équationz=λ. λ 1. tracéedanslepland’équa- λ tionz=λ,selonlesignedeλ. λ=0,λ> C λ (pasdecourbevisible) graphique1 graphique2 graphique3 2. a. dontlescoordonnéessont 25 b. 3delapartieA. dontlescoordonnéessont 2010 EXERCICE 3 5points Communàtouslescandidats Une urne contient