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EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) Leplan complexeestmunid’un repère orthonormal O,→−i ,−→j . (cid:16) (cid:17) 1. Étude d’une fonctionf.On considèrelafonctionf [par: ∞ lnx f(x) = . x On notef′ surl’intervalle]0;+ [. ∞ On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère O,→−i ,−→j .
EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) Leplan complexeestmunid’un repère orthonormal O,→−i ,−→j . (cid:16) (cid:17) 1. Étude d’une fonctionf.On considèrelafonctionf [par: ∞ lnx f(x) = . x On notef′ surl’intervalle]0;+ [. ∞ On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère O,→−i ,−→j . La courbe C est f f (cid:16) (cid:17) représentée en annexe1(à rendreaveclacopie). a. Déterminerles limitesdelafonctionf en 0 et en + . ∞ b. Calculer ladérivéef′ delafonctionf. c. En déduireles variationsdelafonctionf. 2. Étude d’une [par : ∞ (lnx)2 g(x) = . x On noteC dans lerepère O,→−i ,−→j . g (cid:16) (cid:17) a. Déterminerlalimitedeg en 0,puisen + . ∞ (lnx)2 ln√x 2 Après = 4 . x (cid:18) √x (cid:19) b. Calculer ladérivéeg′ delafonctiong. c. Dresserletableau 3. a. Démontrerqueles courbes C et C possèdentdeux les f g coordonnées. b. courbes C et C . f g c. Tracer (àrendre aveclacopie)lacourbeC . g 4. On désignepar A l’aire, expriméeen unitéd’aire, delapartiedu les courbesC et C , et d’autrepart parles = 1et x = e. f g En exprimantl’aireA commedifférencededeux aires quel’onprécisera, calculer l’aireA. Page2 /7 EXERCICE 2 (5points ) (Commun àtous les candidats) Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 5i − et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S,T et U. Lafigureest donnéeen annexe2. π 1. decentreAet d’angle . En déduirequelepointJ 2 apouraffixe 7+2i. − On est 2 6i. − − 2. et (JC) sontperpendiculaireset queles segments[BK]et [JC] cettelongueur. 3. a. Calculer lesaffixes despointsS etT. b. c. Démontrerqueladroite(AU) 4. −J→C,−A→U . (cid:16) (cid:17) 5. On admet queles droites(BK) et (JC) secoupentau pointV d’affixev = 0,752+0,864i. − a. ÉtablirquelespointsA, V et U sontalignés. \ b. pourl’angleBVC? Page3 /7 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) On considère un cube ABCDEFGH, d’arêtes de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite(EC) et duplan(AFH). 1. On se place dans le repère D;−D−→A,−D−→C,−D−→H . Dans ce repère, les sommets du cube ont pour (cid:16) (cid:17) coordonnées : a. b. (AFH). c. En déduireles coordonnéesdu estleprojetéorthogonal du pointE surleplan (AFH). √3 d. Vérifier queladistancedu pointE au plan (AFH)estégaleà . 3 e. QuereprésentelepointI pourletriangleAFH? 2. Dans lasuitedecet exercice, toutetracederecherche, mêmeincomplète,ou d’initiative,même comptedansl’évaluation. Définitions: un tétraèdreest ditdetype1 sises faces ont mêmeaire; • ilest ditdetype2si lesarêtes opposées sontorthogonalesdeux àdeux; • ilest