Sujet Mathématiques — Terminale — Centres étrangers — Bac 2011

EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) On considèreunedroiteD munied’un repère O,→−i . (cid:16) (cid:17) Soit (A n) ainsidéfinie: A estlepointO; 0 • A estlepointd’abscisse1; 1 • pourtoutentiernaturel n, lepointA n+2 estlemilieudusegment[A n A n+1 ]. • 1. a. Placer surundessinladroiteD, lespointsA , A , A , A ,A , A et A . 0 1 2 3 4 5 6 Onprendra 10cm commeunitégraphique. b. Pourtoutentiernaturel n, onnotea l’abscissedu pointA . n n Calculera , a , a , a et a . 2 3 4 5 6 a n+1 +a n c. Pourtoutentiernaturel n, justifierl’égalité:a n+2 = . 2 1 2. Démontrerparrécurrence, quepourtoutentiern, a n+1 = a n +1. −2 2 3. Soit (v n) lasuitedéfinie, pourtoutentiernaturel n, parv n = a n . − 3 1 Démontrerque(v n) est . −2 4. n), puiscelledelasuite(a n). Page2 /6 EXERCICE 2 (5points ) (Commun n’ayantpas suivil’enseignement despécialité) Les cinq Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la justifiéeneserapas priseen compte. Question1 O,→−i ,−→j , les pointsA, B et C d’affixesrespectives: (cid:16) (cid:17) 1 √3 a = 1+i, b = 3i, c = √3+ +i +2 . 2 2 ! (cid:18) (cid:19) Affirmation LetriangleABC estun triangleéquilatéral. Question2 On considère, dansleplan complexemunid’unrepère orthonormaldirect (O, u, v ), →− →− 2i latransformationf : z′ = z. √3+i (cid:18) (cid:19) Affirmation π Latransformationf est larotationdecentre O et d’angle . 3 2011 Question3 On = √3+i . − Affirmation (cid:0) (cid:1) Lenombrecomplexeaestun nombreimaginairepur. Question4 Soit X oùλ est un On rappelleque,pourtoutréel 6 t) s’exprimeparP(X 6 t) = 1 e−λt. − Affirmation Sachant queX > 2,laprobabilitéqueX égaleà1 e−λ. − Question5 Uneurnecontientau totalnboulesdontcinq sontblancheset les autres noires. On effectue10tirages successifsindépendantsen remettantlabouledans l’urneaprès chaque tirage. Affirmation moinsuneboule blanchesurles10 tiragesest égaleà 13. Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) E H Lafigure ABCDEFGH d’arête 1. F G On désigneparI et J les milieuxrespectifs des arêtes [BC]et [CD]. M Soit M unpointquelconquedu segment[CE]. A D Dans toutl’exercice,on seplacedans le J repère orthonormal A;−A→B,−A−→D,−A→E . (cid:16) (cid:17) B I C 1. a. Donner, despointsC,E, I et J. b. quelescoordonnées du pointM soient(1 t;1 t;t). − − 2. a. Démontrerqueles pointsC et E appartiennentau plan médiateurdu segment[IJ]. b. En déduirequeletriangleMIJ est untriangleisocèleen M. c. ExprimerIM2 en fonctiondet. 3. Le butdecettequestionest dedéterminerlapositiondu pointM surlesegment[CE]pour [ est maximale. [ On désigneparθ lamesureen radian del’angleIMJ. a. Enadmettantquelamesureθ appartient àl’intervalle[0;π], démontrerquelamesureθ est θ