Sujet Mathématiques — Terminale — Nouvelle-Calédonie — Bac 2011

EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) PartieA On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où a ∈ R sont les fonctionsg définies surRpar g(x) = Keax oùK ∈ R. Le butde cettepartieest dedéterminerles solutionsde : y′ = ay +b où a ∈ R∗ et b ∈ R. b 1. paru(x) = − est unesolutionde(E). a 2. Soit f unefonctiondéfinieet f est solutionde(E) ⇔ f −uest = ay. 3. En PartieB t, où testexpriméen secondes et v(t)en mètres parseconde. On ainsidéfinieest ;+∞[. Un est 10v′ (t)+v(t) = 30. Enfin, onsupposeque, que v(0) = 0. 1. Démontrerquev(t) = 30 1−e− 1 1 0 t . (cid:16) (cid:17) 2. a. surl’intervalle[0 ;+∞[. b. en +∞. 3. v′ (t) est inférieureà0,1m.s−2. t 2 4. La distancedparcourue parcecyclisteentreles instantst ett est donnéepard = v(t) dt. 1 2 Zt 1 Calculer ladistanceparcourueparce cyclistependant les35 premières secondes. Page2 /5 EXERCICE 2 (4points ) (Commun àtous les candidats) Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un ce moyendetransportetun parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figurelalettreV, surlesecond lalettreR, surletroisièmelalettreP etsurledernierlalettreL. Un concurrent tireau hasard un jeton: • s’iltirelejeton surlequel figurelalettreV, il effectueraletrajet àvélo; • s’iltirelejeton surlequel figurelalettreR, ileffectuera letrajet en roller; • s’iltirelejeton surlequel figurelalettreP, ileffectueraletrajet àpied; • s’iltirelejeton surlequel figurelalettreL, ilchoisiralibrementson modedetransportparmi les troisprécédents. On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70%descas, cas. 1. Construireun Pourles millième. 2. Calculer laprobabilitéqu’un concurrent effectueletrajetàvélo. 3. Sachant qu’unconcurrent aeffectuéletrajet surlequelfigure lalettreL? 4. On admet queles résultatsdes différentesannées autres. L’expériencedes années précédentes 2 d’avoireffectuéletrajet àvéloest . 3 Calculer laprobabilitéqu’au cours dessixprochaines années l’épreuvesoitremportéeau moins unefoispar unconcurrent «noncycliste». Page3 /5 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) u = 1 0 Soit (u n) lasuitedéfiniepar (cid:26) u n+1 = u n −ln(u2 n +1) pourtoutentiernaturel n. . PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurR parf(x) = x−ln(x2 +1). 1. Résoudre dansR l’équationf(x) = x. 2. surl’intervalle[0 ;1]. En déduirequesi x ∈ [0 ;1]alors f(x) ∈ [0 ;1]. PartieB 1. Démontrerparrécurrence que, pourtoutentiern > 0,u n ∈ [0 ;1]. 2. n). 3. Démontrerquelasuite(u n) est Page4 /5 EXERCICE 4 (5points ) (Candidats n’ayantpas suivil’enseignement despécialité) →− →− −→ L’espaceest munid’unrepère orthonormal O, i , j , k . (cid:16) (cid:17) On considèreles pointsA(−2