Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2011

EXERCICE 1 (5 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. (cid:1) (cid:1) ( ) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O;u,v . 1. Soient A le point d'affixe 2 – 5i et B le point d'affixe 7 – 3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle. 2. Soit (D ) l’ensemble des points M d’affixe z telle que z- i= z+ 2i . Proposition 2 : (D ) est une droite parallèle à l’axe des réels. 3. Soit z =3+i 3. Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur. 4. Soit z un nombre complexe non nul. π Proposition 4 : Si est un argument de z alors i+z =1+ z . 2 5. Soit z un nombre complexe non nul. 1 Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2 + est un nombre réel. z2 11MAOSPO1 Page 2/6 EXERCICE 2 (5 points) Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : • la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul : • G l’événement « le joueur gagne la n-ième partie » ; n • p la probabilité de l’événement G . n n On a donc p =0,1. 1 1. Montrer que p =0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première. 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 1 3 4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, p = p + . n+1 5 n 5 3 131n 5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, p = -   . n 4 4 5 ( ) 6. Déterminer la limite de la suite p quand n tend