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EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurR par f(x) = xe1−x . x 1)Vérifier quepourtoutréel x, f(x) = e . × ex en . −∞ en + . ∞ 5)Étudierles variationsdelafonctionf surR puisdresserletableau devariation. PartieB Pourtoutentiernatureln nonnul,on considèreles fonctionsg et h définies surRpar : n
EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurR par f(x) = xe1−x . x 1)Vérifier quepourtoutréel x, f(x) = e . × ex en . −∞ en + . ∞ 5)Étudierles variationsdelafonctionf surR puisdresserletableau devariation. PartieB Pourtoutentiernatureln nonnul,on considèreles fonctionsg et h définies surRpar : n n g n(x) = 1+x+x2 + +x n et h n(x) = 1+2x+ +nx n−1. ··· ··· 1)Vérifier que, pourtoutréel x : (1 x)g n(x) = 1 xn+1. − 1 − xn+1 On x = 1 : g n(x) = − . 6 1 x − 2)Comparerles fonctionsh et g′, g′ . n n n n nxn+1 (n+1)xn +1 Endéduireque, pourtoutréel x = 1 :h n(x) = − . 6 (1 x)2 − 3)Soit S n = f(1)+f(2)+...+f(n), f lapartieA. Enutilisantles résultatsdelapartie B, puissalimite n quandntend vers+ . ∞ Page2 /6 EXERCICE 2 (4points ) (commun à tous lescandidats) PartieA On considère le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l’es- pace durepère orthonormé A; −A→B, −A−→D, −A→E . (cid:16) (cid:17) E H F K G b A D B C 2)Démontrerquelevecteur n(1; 1;1)est un vecteurnormalau plan (BGE) et déterminer −→ − uneéquationdu plan(BGE). 3)Montrerqueladroite(FD) estperpendiculaireau plan(BGE) en un pointK decoordonnées 2 1 2 ; ; . 3 3 3 (cid:18) (cid:19) Déterminerson aire. 5)En déduirelevolumedu tétraèdreBEGD. Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Candidats n’ayantpas suivil’enseignement despécialité) Leplan complexeestrapportéàun repère orthonormédirect. On considèrel’équation (E) : z2 2z√3+4 = 0. − 1)Résoudrel’équation(E) dans l’ensembleC desnombrescomplexes. 2)On considèrelasuite(M n) despointsd’affixesz n = 2 nei(−1)nπ 6, définiepourn > 1. a)Vérifier quez estunesolutionde(E). 1 b)Écrirez et z sous formealgébrique. 2 3 c)Placer lespointsM , M , M et M surlafiguredonnéeen annexeet tracer, surlafigure 1 2 3 4 donnéeen annexe,les segments[M ,M ], [M ,M ]et [M ,M ]. 1 2 2 3 3 4 √3 ( 1) ni > 1, z n = 2 n + − . 2 2 ! 4)Calculer leslongueursM M etM M . 1 2 2 3 admetque, pourtoutentiern > 1, M n M n+1 = 2 n√3. 5)On noteℓ n = M 1 M 2 +M 2 M 3 + +M n M n+1 . ··· a)Montrerque, pourtoutentiern > 1,ℓ n = 2√3(2 n 1). − queℓ n > 1 000. Page4 /6 EXERCICE 4 (5points ) (commun à tous lescandidats) Dans cet exercice, à10 −4 près. PartieA En utilisantsabase de données, la sécurité socialeestimeque