Sujet Mathématiques — Terminale — Antilles-Guyane — Bac 2013

EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) PartieA Restitutionorganiséede connaissances −→ Soit v et soitP un plan. −→ On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D de vecteur directeur u et la 1 1 −→ droiteD devecteurdirecteur u . 2 2 Montrerque∆est siet seulementsi∆est orthogonaleàD et àD . 1 2 PartieB Dans l’espacemunid’unrepère troispoints A(0 ; −1 ; 1), B(4; −3 ; 0) et C(−1 ; −2 ; −1). On appelleP leplanpassantparA, B et C. x = t  On appelle∆ y = 3t−1 avectappartenant  z = −2t+8 àR.  Pourchacune fausseet justifierlaréponse. Affirmation 1.∆ P. Affirmation 2.les droites∆et (AB) sontcoplanaires. Affirmation 3.Leplan P −2z +5 = 0. −→ On appelleD ladroitepassant u(11; −1 ; 4). Affirmation 4. LadroiteD est strictementparallèleau plan d’équationx+3y −2z +5 = 0. Page2 /8 EXERCICE 2 (6points ) (commun à tous lescandidats) Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble k des nombresréels R telleque: −kx f k(x) = kxe . →− −→ On noteC munid’un repère orthogonal O, i , j . k (cid:16) (cid:17) PartieA :Étude ducas k = 1 On considèredonclafonctionf définiesurR par 1 −x f (x) = xe . 1 en −∞ et en+∞. 1 EndéduirequelacourbeC admet 1 2)Étudierles variationsdef surR puisdressersontableau devariationsurR. 1 définieet dérivablesurR telleque: 1 g (x) = −(x+1)e −x 1 surR. 1 4)Étudierlesignedef (x) suivantlesvaleurs dunombreréel x. 1 ,l’axedesabscisses 1 etles droitesd’équationx = 0et x = ln10. PartieB: Propriétés graphiques ,C etC 2 a b positifsfixés etT latangenteà C au pointO originedurepère. b 0.6 T 0.4 C 2 C 0.2 b C a −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1)Montrerquepourtoutréel k strictementpositif,les courbesC passent parunmêmepoint. k k strictementpositifet toutréel xon a f ′ (x) = k(1−kx)e −kx . k Page3 /8 b)Justifierque, pourtoutréel k strictementpositif,f admetunmaximumet calculer k cemaximum. et2. Expliquerladémarche. au pointO originedu repère. k e)Endéduireàl’aidedu Page4 /8 EXERCICE 3 (4points ) (commun à tous lescandidats) Une entreprise industriellefabrique des pièces cylindriquesen grande quantité.Pour toutepièce pré- levée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et Y la variablealéatoirequi luiassocieson diamètreen millimètre. On supposeque X suit la loi normalede moyenne µ = 36 et d’écart-type σ = 0,2 et que Y suit la 1 1 loinormaledemoyenneµ = 6 et d’écart-typeσ = 0,05. 2 2 1)Unepièceest −3σ 1 1 etµ +3σ .