Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2014

EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé O,→−i ,→−j , une courbe C et la (cid:16) (cid:17) droite(AB) oùAet B sontles ; 1) et ( 1 ; 3). − B 3 A −→j 1 O −→i − C On désigneparf lafonctiondérivablesurR C. On suppose,deplus,qu’il existeun réel atel quepourtoutréel x, −x2 f(x) = x+1+axe . passeparlepointA. b) Déterminerlecoefficient directeurdeladroite(AB). c) Démontrerquepourtoutréel x, f ′ (x) = 1 a 2x2 1 e −x2 . − − (cid:0) (cid:1) d) Onsupposequeladroite(AB) est tangenteàlacourbeC au pointA. Déterminerlavaleurdu réel a. 2)D’après laquestionprécédente, pourtoutréel x, f(x) = x+1 3xe−x2 et f′ (x) = 1+3(2x2 1)e−x2 . − − xdel’intervalle] 1; 0], f(x) > 0. − b) Démontrerquepourtoutréel xinférieurouégal à 1, f′ (x) > 0. − 3 c) Démontrerqu’ilexisteun uniqueréel c del’intervalle ; 1 tel quef(c) = 0. (cid:20)−2 − (cid:21) 3 Justifierquec < +2 10 −2. −2 × 3)On désigneparA l’aire, expriméeen unitésd’aire, dudomainedéfini par: c 6 x 6 0 et 0 6 y 6 f(x). a)EcrireA 0 b) Onadmet quel’intégraleI = f(x) dxest unevaleurapprochéedeA à10 −3 près. Z−3 2 Page2 /6 EXERCICE 2 (5points ) (commun à tous lescandidats) Dans cet exercice, on s’intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou 1)Lepremierrestaurant est souventun problèmepourles clients. On quisuituneloi exponentielledeparamètre λoù λ estun réel strictementpositif.On rappellequel’espérance 1 mathématiquedeX est égaleà . λ est de10minutes. a)Déterminerlavaleurdeλ. b) Quelleest laprobabilitéqu’un clientattendeentre 10et Onarrondiraà10 −4. c) Unclientattend au moins5 arrondiraà10 −4. 2)Ledeuxièmerestaurant aunecapacitéd’accueil de70 places etnesert quedes personnesayant réservé au préalable. réservé seprésenteau restaurant est estiméeà0,8. au nombredepersonnes ayantréservé quiseprésententau restaurant. LavariablealéatoireY a)Préciser, en fonctionden, lesparamètres espérance mathématiqueE(Y) et sonécart-typeσ(Y). b) (µ,σ2) N demoyenneµ = 64,8et d’écart-type σ = 3,6. Calculerlaprobabilitép del’événement Z 6 71 àl’aidedelacalculatrice. 1 { } c) Onadmet quelorsquen = 81,p estunevaleurapprochée à10 −2 près delaprobabilité 1 p(Y 6 70)del’événement Z 6 70 . { } Lerestaurantareçu 81réservations. Quelleest accueillircertains des clientsquiontréservé etseprésentent? Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans temps. minute. 1)On estimeque20%du médicamentest n, onnoteu laquantitéde n médicament,en mL,restant danslesang au boutdenminutes.Ainsiu = 10. 0 n)? b) Pourtoutentiernatureln, donnerl’expressiondeu en fonctionden. n c) lesangdevient-elle inférieureà1 lamachineréinjecte4 mLdeproduit. Au boutde15minutes,onarrête lamachine. Pourtoutentiernaturel n, onnotev mL,restant danslesang à n laminuten. Variables : nest unentiernaturel v estun nombreréel Initialisation: Affecteràv lavaleur10 Traitement Pournallantde1