Sujet Mathématiques — Terminale — Nouvelle-Calédonie — Bac 2015

EXERCICE 1 (7points ) (Commun àtous les candidats) Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieurà6,5 mgparlitre,on ditquel’eau decettebouteilleest très peucalcaire. Danscet exercice millième. PartieA L’eau minéraleprovientdedeux sources,notées «sourceA» et «sourceB». La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A soit très peu calcaire est 0,17. La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans soittrès peu calcaire est0,10. La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles d’eau et la source B le restedecetteproduction. On prélève au hasard une bouteille d’eau dans la production totale de la journée. On considère les évènementssuivants: A: «Labouteilled’eau provientdelasourceA» B : «Labouteilled’eau provientdelasourceB» S : «L’eau contenuedans labouteilled’eau est très peucalcaire». vaut0,149. contenuedans sachant qu’elleest trèspeu calcaire. 000bouteillesprovenantde lasourceA. Parmices très peucalcaire. Donnerun del’eau très peu calcaire après cetteintempérie. PartieB On note X la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une suitla loinormaledemoyenne8et d’écart-type1,6. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que Y suit la loi normaledemoyenne9et d’écart-typeσ. hasard dans et9,6 mg. 6 6,5). 3)Déterminerσ hasard dans laproduction très peu calcaireest 0,1. PartieC un repèreorthonormédu plan. Page2 /6 d’équationy = acosx avecx ∈ −π ; π et aunréel strictementpositif. 2 2 (cid:2) (cid:3) Un disquesituéà l’intérieurest destinéà recevoirles informationsdonnées aux acheteurs. On consi- π a 0; etderayon .Onadmettraquecedisque 2 2 setrouveentièrementen dessousdelacourbeC po (cid:16) urdes (cid:17) valeursdeainférieures à1,4. π 1)Justifierquel’airedu abscisses,les droitesd’équationx = − 2 π et x = , etlacourbeC est égaleà2aunitésd’aire. 2 Quellevaleurfaut-il donnerau réel a pourrespecter cettecontrainte? a A b C π O π − 2 2 Page3 /6 EXERCICE 2 (3points ) (commun à tous lescandidats) Pourchaqueréel a, onconsidèrelafonctionf définiesurl’ensembledes nombresréels R par a f a(x) = e x−a −2x+e a . 1)Montrerquepourtourréel a, lafonctionf possèdeun minimum. a lepluspetitpossible? Page4 /6 EXERCICE 3 (5points ) (commun à tous lescandidats) Soient x, y et z trois nombresréels.On ) et (P ) suivantes: 1 2 1 (P ) (x+y +z = 1) ⇒ x2 +y2 +z2 > 1 (cid:18) 3(cid:19) 1 (P ) x2 +y2 +z2 > ⇒ (x+y +z = 1) 2 (cid:18) 3(cid:19) PartieA L’implication(P ) est-ellevraie? 2 PartieB Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH,