Sujet Mathématiques — Terminale — Antilles-Guyane — Bac 2017

Exercice 1 (3 points) Commun à tous les candidats On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct. On considère l’équation ((cid:1831)) ∶ (cid:1878)(cid:2872) +2(cid:1878)(cid:2871) −(cid:1878)−2 = 0 ayant pour inconnue le nombre complexe (cid:1878). 1. Donner une solution entière de ((cid:1831)). 2. Démontrer que, pour tout nombre complexe (cid:1878), (cid:1878)(cid:2872) +2(cid:1878)(cid:2871) −(cid:1878)−2 = ((cid:1878)(cid:2870) +(cid:1878)+1). 3. Résoudre l’équation ((cid:1831)) dans l’ensemble des nombres complexes. 4. Les solutions de l’équation ((cid:1831)) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Justifier. 17MAOSAG1 Page : 2/7 Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d’une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l’usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse. On admet que la variable aléatoire , qui à chaque pièce traitée associe l’épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d’espérance micromètres (µm) et d’écart type σ. 𝑋 Une pièce est conforme si l’épaisseu𝜇r 1 d=e 2n5ickel déposé est comprise entre 2 1 2,8 µm et 27,2 µm. La fonction de densité de probabilité de est représentée ci-dessous. On a pu déterminer que . 𝑋 𝑃(𝑋 > 27,2) = 0,023 1. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce soit conforme. b. Justifier que est une valeur approchée de à près. c. Sachant qu’une pièce est conforme, calculer la p−ro1babilité que l’épaisseur de nickel déposé1 s,1ur celle-ci soit inférieure à 24 𝜎µ 1 m. 1A0rrondir à . −3 10 2. Une équipe d’ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L’équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d’obtenir 98 % de pièces conformes. La variable aléatoire qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l’épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d’espérance µm et d’écart-type . 𝑌 a. En admettant l’affirmation ci-dessus, comparer e𝜇t 2 =. 25 𝜎2 b. Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé ; il révèle que sur 500 pièces testées, 15 ne sont pas conformes. 𝜎1 𝜎2 Au seuil de 95 %, peut-on rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs ? 17MAOSAG1 Page : 3/7 Exercice 3 (3 points) Commun à tous les candidats Soient et les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par et 𝑓 𝑔 𝑥 −𝑥 On note la