Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2017

Exercice 1 : (6 points) commun à tous les candidats Partie A On considère la suite (𝑢 ) définie pour tout entier naturel 𝑛 par : # 𝑢 = # 𝑒)*+ 𝑑𝑥 . # . On ne cherchera pas à calculer 𝑢 en fonction de 𝑛. # 1. a. Montrer que la suite (𝑢 ) est croissante. # b. Démontrer que pour tout réel 𝑥 ≥ 0, on a : −𝑥2 ≤ −2𝑥 +1, puis : 𝑒)*+ ≤ 𝑒)2*78. : En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑢 < . # 2 c. Démontrer que la suite (𝑢 ) est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite. # 2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approchée de 𝑢 . 2 Dans le repère orthonormé (O ;𝚤 ,𝚥 ) ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle 0;2 par 𝑓 𝑥 = 𝑒)*+ , et le rectangle OABC où A(2;0), B(2;1) et C(0;1). On a hachuré le domaine 𝒟 compris entre la courbe , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation 𝑥 = 2. On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un point M au hasard à l’intérieur du rectangle OABC. CDE: F: 𝒟 On admet que la probabilité 𝑝 que ce point appartienne au domaine 𝒟 est : 𝑝 = . CDE: F: GCHI a. Justifier que 𝑢 = 2𝑝. 2 17MASOMLR3 Page 2 sur 7 b. On considère l’algorithme suivant : L1 Variables : N, C nombres entiers ; X, Y, F nombres réels L2 Entrée : Saisir N L3 Initialisation : C prend la valeur 0 L4 Traitement : L5 Pour k variant de 1 à N L6 X prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 0 et 2 L7 Y prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 0 et 1 L8 Si Y ≤ 𝑒)R+ alors L9 C prend la valeur C+1 L10 Fin si L11 Fin pour L12 Afficher C L13 F prend la valeur C/N L14 Afficher F i. Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du point M(X;Y) ? ii. Interpréter la valeur F affichée par cet algorithme. iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur de F lorsque N devient très grand ? c. En faisant fonctionner cet algorithme pour N = 10K, on obtient C = 441138. On admet