Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2017

Exercice 1 (7 points) : commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction ℎ définie sur l’intervalle 0;+∞ par : ℎ 𝑥 = 𝑥𝑒)*. 1. Déterminer la limite de la fonction ℎ en +∞. 2. Étudier les variations de la fonction ℎ sur l’intervalle 0;+∞ et dresser son tableau de variations. 3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction ℎ. a. Vérifier que pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l’intervalle 0;+∞ , on a : ℎ 𝑥 = 𝑒)* −ℎ′(𝑥) où ℎ′ désigne la fonction dérivée de ℎ. b. Déterminer une primitive sur l’intervalle 0;+∞ de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑒)*. c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction ℎ sur l’intervalle 0;+∞ . Partie B On définit les fonctions 𝑓 et 𝑔 sur l’intervalle 0;+∞ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒)* +ln 𝑥 +1 et 𝑔 𝑥 = ln(𝑥 +1). On note 𝐶 et 𝐶 les représentations graphiques respectives des fonctions 𝑓 et 𝑔 dans un repère 8 9 orthonormé. Ces deux courbes sont tracées en annexe page 8. Cette annexe est à rendre avec la copie. 1. Pour un nombre réel 𝑥 appartenant à l’intervalle 0;+∞ , on appelle M le point de coordonnées (𝑥;𝑓 𝑥 ) et N le point de coordonnées 𝑥;𝑔 𝑥 : M et N sont donc les points d’abscisse 𝑥 appartenant respectivement aux courbes 𝐶 et 𝐶 . 8 9 a. Déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale. b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 8 les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN. 2. Soit 𝜆 un réel appartenant à l’intervalle 0;+∞ . On note 𝐷 le domaine du plan délimité par les < courbes 𝐶 et 𝐶 et par les droites d’équations 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝜆. 8 9 a. Hachurer le domaine 𝐷 correspondant à la valeur 𝜆 proposée sur le graphique en annexe < page 8. b. On note 𝐴 l’aire du domaine 𝐷 , exprimée en unités d’aire. Démontrer que : < < <>? 𝐴 = 1− . < @A c. Calculer la limite de 𝐴 lorsque 𝜆 tend vers +∞ et interpréter le résultat. < 17MASOMLR1 Page 2 sur 8 3. On considère l’algorithme suivant : Variables : 𝜆 est un réel positif 𝑆 est un réel strictement