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EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en
EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %. Partie A À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication : • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98. • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : A l’évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ». On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A. 1. Montrer que P(C)=0,03x+0,95. 2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A. Partie B Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre (cid:1). 1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre (cid:1) de la loi exponentielle. 2. Calculer P(Z>2). 3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? 17MASOIN1 Page 2/9 Partie C On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une tablette de 100g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d’espérance (cid:1)=85 et d’écart type (cid:1)=2. 1. Calculer P(83 (cid:2) X (cid:2) 87). Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage ? 2.