Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2018

Exercice 4 (5 points) Candidats nnn’’’aaayyyaaannnttt pppaaasss sssuuuiiivvviii dddeee Dans cet exercice, x et y ssoonntt ddeess nnoommbbrreess rrééeellss supérieurs à 1. (cid:2) (cid:2) DDaannss llee ppllaann ccoommpplleexxee mmuunnii dd’’uunn rreeppèèrree oorrtthhoonnoorrmméé ddiirreecctt (O;u,v), oonn ccoonnssiiddèèrree lleess ppooiinnttss AA,, BB et C d’affixes respectivesz ==11++ii,z = x+i et z = y+i. A B C Problème : oonn cchheerrcchhee lleess vvaalleeuurrss éévveennttuueelllleess des réels x et y, supérieures à 1,, ppoouurr lleessqquueelllleess : (cid:2) (cid:2) (cid:2) OOCC==OOAA·· OOBB et (u,OB)+(u,OC)=(u,OA). 1. Démontrer que si OOCC==OOAA·· OOBB, alors y2 =2x2 +1. 2. Reproduire sur la copie ett ccoommpplléétteerr ll’’aallggoorriitthhmmee ccii-après ppoouurr qquu’’iill aaffffiicchhee ttoouuss lleess ccoouupplleess ( ) x,y tels que : y2 =2x2 +1  xet ysont desnombresentiers  1£ x£ 10e£t1£ y 10 Pour x aallllaanntt ddee 11 àà ……… faire PPoouurr ………………………… SSii …………………… AAffffiicchheerr x et y Fin Si Fin Pour Fin Pour LLoorrssqquuee ll’’oonn eexxééccuuttee cceett aallggoorriitthhmmee,, iill aaffffiicchhee la valeur 2 ppoouurr llaa vvaarriiaabbllee xx eett llaa vvaalleeuurr 3 pour la variable y. 3. Étude d’un cas particulier :: ddans cette question seulement, on prend x=22 et y=3. a) Donneerr llee mmoodduullee eett uunn aarrgguummeenntt ddee z . A BACCALAURÉAT GÉNÉRAL – SSéérriiee S SSEESSSSIIOONN 22001188 SSUUJJEETT ÉPREUVE : Coefficient : 7 5/6 18MASOJA1 Durée : 4 heures b) Montrer que OC=OA· OB. (cid:2) (cid:2) (cid:2) c) Montrer que z z =5z , et en déduire que (u,OB)+(u,OC)=(u,OA). B C A 4. On revient au cas général, et on cherche s’il existe d’autres valeurs des réels x et y telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions : (cid:2) (cid:2) (cid:2) OC=OA· OB et (u,OB)+(u,OC)=(u,OA). On rappelle que si OC=OA· OB, alors y2 =2x2 +1 (question 1.). (cid:2) (cid:2) (cid:2) (x+i)(y+i) a) Démontrer que si (u,OB)+(u,OC)=(u,OA), alors arg  =0 mod2π.  1+i  En déduire que sous cette condition : x+y- xy+ 1= 0. b) Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus x„ 1, alors : x+1 y = 2x2 +1 et y= . x- 1 ] [ 5. On définit les fonctions f et g sur l’intervalle 1;+¥ par : x+1 f(x)= 2x2 +1 et g(x)= . x- 1 Déterminer le nombre de solutions du problème initial. On pourra utiliser la fonction h définie sur l’intervalle ] 1;+¥ [ par h(x)= f(x)- g(x) et s’appuyer sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée