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Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points) Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à 10−3. Une usine fabrique des tubes. Partie A Les questions 1 et 2 sont indépendantes. On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et
Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points) Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à 10−3. Une usine fabrique des tubes. Partie A Les questions 1 et 2 sont indépendantes. On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2. 1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres. a. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type 0,07. On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle. b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans 1 la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire X 1 suit une loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type σ . 1 Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de σ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 1 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire Z définie par Z = 𝑋1−1,5 qui suit la loi normale centrée réduite.) 𝜎1 2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle [298 ; 302]. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2 % de tubes non «conformes pour la longueur » est acceptable. On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ». a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non « conformes