Sujet Mathématiques — Terminale — Liban — Bac 2019

Exercice n°1 (5 points) Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J). 1. On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0 ;1] par 𝑓(𝑥)= 𝑥(1−ln𝑥)2. a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de 𝑓 et vérifier que pour tout 𝑥 ∈ ]0 ;1], 𝑓′(𝑥)= (ln𝑥+1)(ln𝑥−1). b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0 ;1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle). On note Γ la courbe représentative de la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ;1] par 𝑔(𝑥)= ln𝑥. Soit 𝑎 un réel de l’intervalle ]0 ;1]. On note M le point de la courbe Γ d’abscisse 𝑎 et d la tangente à la 𝑎 a courbe Γ au point M . Cette droite 𝑑 coupe l’axe des abscisses au point N , et l’axe des ordonnées au 𝑎 𝑎 𝑎 point P . 𝑎 On s’intéresse à l’aire du triangle ON P quand le réel a varie dans l’intervalle ]0 ;1]. 𝑎 𝑎 2. Dans cette question, on étudie le cas particulier où 𝑎 = 0,2 et on donne la figure ci-dessous. d 0,2 N 0,2 M 0,2 P 0,2 a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON P en unités d’aire. 0,2 0,2 b. Déterminer une équation de la tangente 𝑑 . 0,2 c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle ON P . 0,2 0,2 Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel 𝑎 de l’intervalle ]0 ;1], l’aire du triangle ON P en 𝑎 𝑎 1 2 unités d’aire est donnée par 𝐴(𝑎) = 𝑎 (1 –ln𝑎) . 2 3. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de 𝑎 l’aire 𝐴(𝑎) est maximale. Déterminer cette aire maximale. 19MASOLI1 Page 2 sur 5 Exercice n°2 (4 points) Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,𝑢⃗ ,𝑣 ) d’unité 2 cm. On appelle 𝑓 la fonction qui, à tout point M, distinct du point O et d’affixe un nombre complexe 𝑧, associe le point M′ d’affixe 𝑧′ tel que 𝑧′ = −1 . 𝑧 1. On considère les points A et B d’affixes respectives 𝑧 A = −1+i et 𝑧 B = 1 ei π 3. 2 a. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point A′ image du point