Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2019

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être abordées de façon indépendante. Deux groupes de scientifiques, des spécialistes en environnement et des biologistes, étudient l’évolution d’une population de grenouilles autour d’un étang. Partie A — Étude d’un modèle discret d’évolution Le groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement de la population de grenouilles autour de l’étang. Ce taux dépend notamment du nombre de grenouilles présentes sur les lieux, de la quantité de nourriture à disposition, de l’espace disponible et de la qualité de l’environnement. Une étude, menée en 2018 par ce premier groupe de scientifiques, a permis d’estimer le taux de disponibilité des ressources à 0,9 ; cela signifie que 90 % des ressources sont disponibles. On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite (𝑇 ) qui, à tout entier naturel n, associe le taux de 𝑛 disponibilité des ressources 𝑛 années après 2018. On a ainsi 𝑇 =0,9. 0 Le modèle choisi est tel que, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑇 =𝑇 −0,1𝑇2. 𝑛+1 𝑛 𝑛 1. Certains spécialistes en environnement estiment qu’en 2022, le taux de disponibilité des ressources sera proche de 0,4. Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ? 2. On définit la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ;1] par 𝑓(𝑥) =𝑥−0,1𝑥2. Ainsi, la suite (𝑇 ) vérifie pour tout 𝑛 entier naturel 𝑛, 𝑇 =𝑓(𝑇 ). 𝑛+1 𝑛 a. Étudier les variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ;1]. b. Montrer que pour tout 𝑛 entier naturel, on a : 0≤𝑇 ≤𝑇 ≤1. 𝑛+1 𝑛 c. La suite (𝑇 ) est-elle convergente ? Justifier la réponse. 𝑛 3. Le groupe de spécialistes en environnement affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources peut être inférieur à 0,4 au cours des vingt premières années qui suivent le début de l’étude et qu’il est capable de déterminer en quelle année, ce seuil serait atteint pour la première fois. Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ? 19MASOPO3 Page 2 sur 8 Partie B — Étude d’un modèle continu d’évolution Le groupe de biologistes a choisi une autre option et travaille sur le nombre de grenouilles peuplant l’étang. Au 1er janvier 2018, il avait été dénombré 250 grenouilles. Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles présentes autour de