Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Sud — Bac 2006

Durée:4heures EXERCICE1 3points Communàtouslescandidats Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal O,→−ı ,→− ,→−k , on considère les ³ ´ points: A de coordonnées (3 ; 1 ; 5), B de coordonnées (0 ; 4 ; 5), C de coordonnées − − ( 1; 2; − − 1. 2. y 4. + = 3. 9y 5z 11 0. − − + = 4. 5. 6. x 1 2k  = 7 −  y = 2+ k, k R 1 ∈ z 9k  = −2− EXERCICE2 5points O,→−u,→−v .Onprendrapour ³ ´ unitégraphiqueIcm. 1. Questiondecours z −w→ et | |=k k arg(z) →−u,−w→ ». =³ ´ SoientM, N etP netptelsque m netm p. 6= 6= p m a. Démontrerque:arg − −M−−N→,−M−→P . ³n m´=³ ´ − p m b. − ¯ ¯ ¯n m¯ ¯ − ¯ 2. z 4 i, z 1 i, z 5ietz 3 i. A B C D = + = + = =− − 3. Soitf cielepointM d’affixez telque: ′ ′ z′ (1 2i)z 2 4i. = + − − BaccalauréatS a. f. b. Montrer que f admet un unique point invariant Ω, dont on précisera l’affixeω. 4. a. z′ z 2i(2 i z). − =− − − MM b. ′ et ΩM ³ −M−−Ω→,−M−−M−→ ′´ c. ? ′ d. SoitElepointd’affixez 1 ip3.Écrirez sousformeexponentielle E E =− − puis placer le point E sur la figure.Réaliser ensuite la construction du pointE′associéaupointE. EXERCICE2 5points Rappel: Pourdeuxentiersrelatifs a etb,onditque a estcongruàb modulo7,etonécrit a b b 7k. ≡ = + 1. a. Soienta,b, cetddesentiersrelatifs. Démontrerque:sia b mod7etc d mod7alorsac bd mod7. ≡ ≡ ≡ b. sia b an bn mod7. ≡ ≡ 2. Pour a 2 puis pour a 3,déterminer un entier naturel n non nultel que = = an 1 mod7. ≡ 3. a. Montrerque:a6 1 mod7. ≡ b. Onappelleordredea turelnonnultelqueak 1 mod7.Montrerquelerester deladivision ≡ 1 mod7. ≡ Endéduirequekdivise6. c. 4. A 2n 3n 4n 5n 6n. n = + + + + MontrerqueA 6 mod7. 2006 ≡ EXERCICE3 4points Communàtouslescandidats 1 . 4 1 . 2 AmériqueduSud 2 novembre2006 BaccalauréatS – – – J n 1. a. tirde50bulbesdulot1? b. c. lipesjaunes, d. Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On 2. a. Montrerque:P B(J n) =¡ 5 n 0 ¢ 2 − 50. b. c. Onnotep n J estréalisé.Établirque: n 350 − n p . n =350 n 250 − + d. >0,9?