Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2006

EXERCICE1 4points Communàtouslescandidats Leplan complexe est muni d’un repèreorthonormal direct O,→−u,→−v (unité gra- ³ ´ phique:2cm). z −w→ et | |=k k arg(z) →−u, −w→ à2πprès. =³ ´ ′ arg(zz′) arg(z) arg(z′). = + Soientzetz ′ z arg arg(z) arg(z′) ³z ′´= − PartieB iet3i. − Onnote f lepointM d’affixez telleque: ′ ′ iz 3 z′ + = z i + 1. a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercledediamètre[AB]. b. OnnoteClepointd’affixec 2 ′ =− + deCpar 2. π arg z ′ −M−→A,−M−→B à2πprès. ¡ ¢ =³ ´+ 2 3. a. soitunnombre ′ complexeimaginairepur. b. SoitM d’affixez ? ′ EXERCICE2 5points A;−A−→B ;−A−→D ;−A→E . ³ ´ 1 ; 1;1 . µ3 ¶ 1. 2. sontparallèles. 3. a. i. k−A−→C. = BaccalauréatS ii. −I→R −A−→C 0. · = b. p11 c. . = 3 4. Démontrerquelevecteur→−n decoordonnées(3; 3; 2)estnormalauplan − (ACI). 5 5. . p22 EXERCICE2 5points Étant donné un entier naturel n >2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiersnaturelsx, yetztelsquex2 y2 z2 2n 1modulo2n. + + ≡ − 1. Dans cette question on suppose n 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la = conditionprécédente. 2. 3. = a. donnantlerester r 0 1 2 3 4 5 6 7 R b. yetztelsque x2 y2 z2 7modulo8? + + ≡ yetztelsque x2 y2 z2 2n 1modulo2n. + + ≡ − 1. y etzsonttousimpairsouque deuxd’entreeuxsontpairs. 2. 2q, = y 2r, z 2s 1oùq, r, ssontdesentiersnaturels. = = + a. Montrerquex2 y2 z2 1modulo4. + + ≡ b. 3. Onsupposequex, y, zsontimpairs. a. kestdivisiblepar2. + b. Endéduirequex2 y2 z2 3modulo8. + + ≡ c. Conclure. EXERCICE3 4points Communàtouslescandidats est0,8. G n • P n • Onpose:p p(G )etq p(P ). n n n n = = BaccalauréatS 1. a. Déterminerp (G )etp (G ). 1 G1 2 P1 2 b. Justifierl’égalitép q 1. n n + = c. 0,5p 0,2. n 1 n + = + 2. Étudedelasuite p . n ¡ ¢ 2 p . n n = −5 a. Prouver que la suite (v n) est une suite géométrique et exprimer v n en fonctionden. b. Endéduirel’expressiondep enfonctionden. n c. p quandntendvers . n +∞ ¡ ¢ EXERCICE4 7points Communàtouslescandidats PartieA (E): y′ y e− x. + = 1. u(x) xe x estunesolutionde(E). − = 2. ): y y 0. 0 ′ + = 3. etseulementsiv uestsolutionde(E ). 0 −