Sujet Mathématiques — Terminale — Pondichéry — Bac 2009

Exercice 1 (7 points) Commun à tous les candidats f 0:)[ Soit la fonction définie sur l'intervalle [0, + par: . _ 2 f(x) =xe x . j ~ V/ On désigne par C la courbe représentative de la fonction 1'--. r-.. -- -- (0; D/ f dans un repère orthonormal i,]) du plan. Cette D r..­ courbe est représentée ci-contre. 0 i ~ 1 2 Partie A f 1. a. Déterminer la limite de la fonction en +<X:J • , .' 1 x2 (On pourra écrire, pour x différentdeO:f(x) x = - e x X 2 - ). b. De , montrer que f a d m et un maxi . mum en - .fi et ca 1 c u 1 e r ce maxi . mum. . 2 2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de a, l'aire F (a) de la partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x =a , Quelle est la limite de F (a) quand a tend vers +O:)? Partie B fn+J On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par: un = n f (x) dx , un . On ne cherchera pas à expliciter ° 1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de et de 1, un f(n+l)~ ~f(n) (u) b. Quel est le sens de variation de la suite ? n n;:2 (un) c. Montrer que la suite converge. QueUe est sa limite? ln-I 2. a. V érifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F (n) = u k • k=O b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On donne ci-dessous les valeurs de F (n) obtenues à l'aide d'un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7. n 3 4 5 6 7 F(n) 0,4999382951 0,4999999437 0,5 0,5 0,5 . Interpreter ces résultats. Page 2 9MASSINI Exercice 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( 0; ~,~). On prendra pour unité graphique 2 cm. = Soit A et B les points d'affixes respectives z A i et ZB = 1+ 2i. 1. Justifier qu'il existe un~ unique similitude directe S telle que; S