Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2010

EXERCICE 1 : (6 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : . 1) Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E). 2) On considère l’équation différentielle (E') : . Résoudre l’équation différentielle (E'). 3) Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction est solution de l’équation différentielle (E'). 4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E). 5) Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que . Partie B : On considère la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par où k est un nombre réel donné. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. 1) Montrer que la fonction admet un maximum en . 2) On note le point de la courbe d’abscisse . Montrer que le point appartient à la courbe d’équation . 3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : • la courbe d’équation ; • la courbe d’équation pour un certain nombre réel k donné. a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. 4) À l’aide d’une intégration par parties, calculer Donner une interprétation graphique de cette intégrale. 10 MASSME 1 page 2/6 EXERCICE 2 : (5 points) Commun à tous les candidats 1) Restitution organisée de connaissances. Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u ) et (v ) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes avec (u ) croissante et (v ) décroissante alors, pour tout entier naturel n, v > u . Propriété 2 : toute