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EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) →− →− Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v ). On prendra 2 cm pour unité graphique.On appelleJ lepointd’affixei. 1. On considèrelespointsA, B, C, H d’affixesrespectivesa = −3−i, b = −2+4i, c = 3−i et h =
EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) →− →− Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v ). On prendra 2 cm pour unité graphique.On appelleJ lepointd’affixei. 1. On considèrelespointsA, B, C, H d’affixesrespectivesa = −3−i, b = −2+4i, c = 3−i et h = −2. Placer ces pointssurunefigure, quisera complétéeau furet àmesuredel’exercice. 2. MontrerqueJ estlecentredu cercle C circonscritau triangleABC. Préciser lerayon du cercleC. b−c 3. Calculer, . h−a En déduirequeles droites(AH)et (BC) sontperpendiculaires. Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC, c’est-à-dire le point d’intersectiondes hauteursdu triangleABC. 4. On noteGlecentre degravitédu triangleABC. Déterminerl’affixeg du pointG. Placer G surlafigure. 5. etl’orthocentreH dutriangle ABC sontalignés.Levérifier surlafigure. 1 3 6. On noteA′ lemilieude[BC]et K celui de[AH]. LepointA′ apouraffixea′ = + i. 2 2 a. Déterminerl’affixedu pointK. b. est unparallélogramme. Page2 /6 EXERCICE 2 (6points ) (Commun àtous les candidats) 1. Soit f lafonctiondéfinie sur[0;+∞[par f(x) = xex −1. en +∞ et b. = 0 admetuneuniquesolutionα surl’intervalle[0,+∞[. −2 près. c. Déterminerlesignedef(x) suivantlesvaleurs dex. 2. On noteC Γ celledelafonction →− −→ logarithmenépérien dansleplanmunid’un repèreorthonormé O, i , j . (cid:16) (cid:17) Lescourbes C et Γ sontdonnéesen annexe. Soitxun nombreréel strictementpositif.On noteM lepointdeC d’abscissex etN lepoint deΓ d’abscissex. x strictementpositif,ex > ln(x). a.MontrerquelalongueurMN est minimalelorsquex = α. Donnerunevaleurapprochée −2 près. 1 b. = . EndéduirequelatangenteàC au point α d’abscisseα et latangenteàΓ au pointd’abscisseα sontparallèles. 3. a. Soit hlafonctiondéfinie sur]0,+∞[parh(x) = xln(x)−x. Montrerquelafonctionh sur]0,+∞[. b. Calculerlavaleurexacte, puisunevaleurapprochée à10 −2 près, del’aire(expriméeen unités surlafigure jointeen annexe 1. Page3 /6 EXERCICE 3 (4points ) (Commun àtous les candidats) quatrepropositionsest exacte. choisie.Aucune sinon. 1. n ces ntirs. n soitsupérieureou égaleà0,9 est: a.6 b. 7 c. 10 d. 12 2. On heures,d’un moteurDiesel jusqu’àceque aléatoireX = 0,0002.Ainsi,la t panneavantl’instanttest p(X 6 t) = λe −λx dx. Z 0 000heuresest,aumillième près: a. 0,271 b. 0,135 c. 0,865 d. 0,729 3. Un joueurdisposed’un faces sontnumérotées de1à6. A chaque lancer, ilgagnes’il obtient2, 3,4, 5 ou6;ilperd s’il obtient1. Unepartieest constituéede5lancers du désuccessifset indépendants. foisau cours d’unepartieest : 125 625 25 3 a. b. c. d. 3 888 648 7 776 5 4. Soient Aet B deux mêmeuniversΩtelsquep(A) = 0,3et p(A∪B) = est : a.0,5 b. 0,35 c. 0,46 d. 0,7 Page4 /6 EXERCICE 4 (5points ) (Candidats ayantchoisi l’enseignement de spécialité) 1. On considèrel’équation(E) : 11x−7y = 5, oùx et y sontdesentiers relatifs. a.Justifier,en énonçant un (u;v)telsque 11u−7v = 1. Trouverun tel couple.