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EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) On considèreunedroiteD munied’un repère O,→−i . (cid:16) (cid:17) Soit (A n) ainsidéfinie: A estlepointO; 0 • A estlepointd’abscisse1; 1 • pourtoutentiernaturel n, lepointA n+2 estlemilieudusegment[A n A n+1 ]. • 1. a. Placer surundessinladroiteD, lespointsA , A , A , A ,A
EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) On considèreunedroiteD munied’un repère O,→−i . (cid:16) (cid:17) Soit (A n) ainsidéfinie: A estlepointO; 0 • A estlepointd’abscisse1; 1 • pourtoutentiernaturel n, lepointA n+2 estlemilieudusegment[A n A n+1 ]. • 1. a. Placer surundessinladroiteD, lespointsA , A , A , A ,A , A et A . 0 1 2 3 4 5 6 Onprendra 10cm commeunitégraphique. b. Pourtoutentiernaturel n, onnotea l’abscissedu pointA . n n Calculera , a , a , a et a . 2 3 4 5 6 a n+1 +a n c. Pourtoutentiernaturel n, justifierl’égalité:a n+2 = . 2 1 2. Démontrerparrécurrence, quepourtoutentiern, a n+1 = a n +1. −2 2 3. Soit (v n) lasuitedéfinie, pourtoutentiernaturel n, parv n = a n . − 3 1 Démontrerque(v n) est . −2 4. n), puiscelledelasuite(a n). Page2 /6 EXERCICE 2 (5points ) (Commun ayantsuivil’enseignement de spécialité) Les cinq Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la justifiéeneserapas priseen compte. Question1 On considèrel’équation(E) : 2x+11y =7, oùxet y sontdes entiers relatifs. Affirmation Les sontlescouples (22k 2; 4k +1),aveck appartenant à l’ensembleZ desentiers relatifs. − − Question2 On considèrel’entierN = 112012. Affirmation L’entierN est congruà4 modulo7. Question3 On considère, dansleplan complexe,lespointsA, B et C d’affixes respectives: a = 1+i ; b = 3i ; c = 1 2√2 +i 1 √2 . − − (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) Affirmation LepointC estl’imagedupointB A, derapport √2 et π d’angle . −2 Question4 On considère, dansleplan complexe,lespointsAet B d’affixesrespectives: a = 1+i ; b = 2 i. − 3 4 12 6 Soit f z′ = i z + + i . (cid:18)−5 − 5 (cid:19) (cid:18) 5 5 (cid:19) Affirmation Latransformationf est laréflexiond’axe(AB). Question5 L’espace estmunid’un repèreorthonormal O,→−i ,−→j ,−→k . On considèrelasurface S dontuneéquationest :z = (cid:16) 4xy. (cid:17) Affirmation Lasectiondelasurface S parlepland’équationz = 0 est laréuniondedeuxdroites orthogonales. Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) E H Lafigure ABCDEFGH d’arête 1. F G On désigneparI et J les milieuxrespectifs des arêtes [BC]et [CD]. M Soit M unpointquelconquedu segment[CE]. A D Dans toutl’exercice,on seplacedans le J repère orthonormal A;−A→B,−A−→D,−A→E . (cid:16) (cid:17) B I C 1. a. Donner, despointsC,E, I et J. b. quelescoordonnées du pointM soient(1 t;1 t;t). − − 2. a. Démontrerqueles pointsC et E appartiennentau plan médiateurdu segment[IJ]. b. En déduirequeletriangleMIJ est untriangleisocèleen M. c. ExprimerIM2 en