Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2011

EXERCICE1(5points) Communàtouslescandidats −3. PartieA magasinest suffisammentimportant 1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la 2. Quelleestla probabilitéqu’au moinsundes moteurstombeen panneau coursdela PartieB On admet que la durée de vie sans panne, expriméeen années, de chaque moteur est une variable aléatoireY qui suit une loi exponentiellede paramètre λ, où λ est un réel stricte- mentpositif. t P(Y 6t)= λe −λxdx. Z 0 −3. 1. ExprimerP(Y 2. 3. an? 4. decesmoteursestégaleà lim F(t)oùF m t→+∞ t +∞[parF(t)= λxe −λx dx. Z 0 a. b. Endéduirelavaleurded .Onarrondiraà10 −1. m 11MASCSME/LR3 page2/6 EXERCICE2(6points) Communàtouslescandidats Ondésignepar f f(x)=x2+4lnx. 1. f enprécisantleslimitesde f en0et en+∞. 2. Démontrerquel’équation ]0,+∞[. 3. Endéduirelesignede C delafonctiong définiesurRpar: g(x)=e − 4 1x2 . u =0,5 0 Ondéfinitlasuite(u )par: n ½ u n+1 =g(u n ) pourtoutn∈N 1. 2. AumoyendelacourbeC etdeladroited’équationy =x,représenterlestermesu ,u 1 2 etu delasuite(u )surl’axedesabscisses. 3 n )? n 3. u 2n 6α6u 2n+1 . En utilisantla plus petit entier n pour lequel les trois pre- mièresdécimalesdeu n etu n+1 sontidentiques. −3près. OnappelleL surl’intervalle]0, +∞[parϕ(x)=2lnx. quetouslesautres. 1. SoientM unpointdelacourbeL etx sonabscisse. ExprimerOM enfonctiondex. 2. a. Soith b. A delacourbeL telquepourtoutpoint M deL,distinctde A,onaitOM >OA. 3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T à la courbe L au A point A. 11MASCSME/LR3 page3/6 EXERCICE3(4points) Communàtouslescandidats →− →− →− O; i , j , k . ³ ´ →− →− →− →− Ondésignepara,b,c,d n =a i +b j +ck soitdifférentdu vecteurnul.Onappelle P =0. →− →− Démontrerquelevecteur n estunvecteurnormalauplan P n −→ AB où AetB P. →− →− →− O; i , j , k . Ondésignepar P lepland’équationcartési ³ enne 2x−y+´ 3z=0 etparAetB lesdeuxpoints duplan P 2, 0)et(0, 3, 1). 1. SoientC,D,E 1, −1),(−1, 4, 2),(1, 5, 1). a. Lespoints A,B,C définissentleplan P. b. Lespoints A,B,D définissentleplan P. c. Lespoints A,B,E définissentleplan P. x = 1−t 2. Ladroite D  y = t t ∈R.  z = 2+t a. Ladroite D estperpendiculaireauplan P.  b. Ladroite D P. c. Ladroite D estinclusedansleplan P. 1 3. Soit S 5, 1),etderayon .L’ensembledes 2 pointscommunsàlasphère S etauplan P est: a. vide, b. constituéd’unseulpoint, c. uncercle. 11MASCSME/LR3 page4/6 EXERCICE4(5points) →− →− O ; u , v . ³ ´ Onnote AetB 0)et(6, 1). 0 Pour tout point M de coordonnées (x, y), on note M l’image du point M par la symétrie 0 0 orthogonaled’axe(AB)et(x , y )sescoordonnées. 1. a. Justifierl’existence de deux nombres