Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2011

EXERCICE 1 (5 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. (cid:1) (cid:1) ( ) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O;u,v . 1. Soient A le point d'affixe 2 – 5i et B le point d'affixe 7 – 3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle. 2. Soit (D ) l’ensemble des points M d’affixe z telle que z- i= z+ 2i . Proposition 2 : (D ) est une droite parallèle à l’axe des réels. 3. Soit z =3+i 3. Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur. 4. Soit z un nombre complexe non nul. π Proposition 4 : Si est un argument de z alors i+z =1+ z . 2 5. Soit z un nombre complexe non nul. 1 Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2 + est un nombre réel. z2 11MASSPO1 Page 2/6 EXERCICE 2 (5 points) On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors ap- 1 ” 1 (modulo p). On considère la suite (u ) d’entiers naturels définie par : n u =1 et, pour tout entier naturel n, u =10u +21. 0 n+1 n 1. Calculer u , u , et u . 1 2 3 2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3u =10n+1- 7. n b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’écriture décimale de u . n 3. Montrer que u est un nombre premier. 2 On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (u ) par certains nombres n premiers. 4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. n 5. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3u ” 4- - ( 1 )n ( modulo11 ) n b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n’est pas divisible par 11. n 6. a) Démontrer l’égalité : 1016 ” 1 ( modulo17 )