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EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) Les partiesB et Csontindépendantes. On noteR l’ensembledes nombresréels et onconsidèrelafonctionf définiesurR par: f(x) = xex−1 +1. On noteC repère orthonormé O;→−i ,→−j . (cid:16) (cid:17) PartieA :étude de lafonction 1. Déterminerlalimitedef en . Quepeut-onen déduirepourlacourbeC ? −∞ 2. Déterminerlalimitedef en + .
EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) Les partiesB et Csontindépendantes. On noteR l’ensembledes nombresréels et onconsidèrelafonctionf définiesurR par: f(x) = xex−1 +1. On noteC repère orthonormé O;→−i ,→−j . (cid:16) (cid:17) PartieA :étude de lafonction 1. Déterminerlalimitedef en . Quepeut-onen déduirepourlacourbeC ? −∞ 2. Déterminerlalimitedef en + . ∞ 3. On admet quef est dérivablesurR eton notef′ safonctiondérivée. Montrerque,pourtoutréel x, f′ (x) = (x+1)ex−1. 4. Étudierlesvariationsdef surR et dressersontableau devariationsurR. PartieB: recherche d’une tangente Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existeune tangente à la courbeC au pointd’abscissea, qui passeparl’originedu repère. 1. On appelleT latangenteàC au pointd’abscissea. DonneruneéquationdeT . a a 2. en un si et seulementsi avérifiel’égalité 1 a2ea−1 = 0. − 3. Dans comptedans l’évaluation. Démontrerque1est [del’équation ∞ 1 x2ex−1 = 0. − 4. PartieC :calcul d’aire Legraphiquedonnéen Annexe1 représentelacourbeC delafonctionf dansunrepèreorthonormé O;→−i ,−→j . (cid:16) (cid:17) 1. = 2x. On admetquelacourbeC est au-dessus deladroite∆. HachurerledomaineD limitéparlacourbeC, ladroite∆, ladroite d’équationx = 1 etl’axedes ordonnées 1 1 2. On poseI = xe x−1 dx. queI = . Z e 0 3. En déduirelavaleurexacte(en unitésd’aire)del’airedu domaineD. Page2 /6 EXERCICE 2 (4points ) (Commun àtous les candidats) Leplan complexeestrapportéàun repère orthonormédirect(O; u, v ). →− −→ cettefigureau fur etàmesuredes questions. On considèreles pointsA,B etC du plancomplexed’affixes respectives a = 1+2i ; b = 2 i ; c = 3+i. − − − − 1. Placer les pointsA, B et C surlegraphique. b 2. Calculer . a 3. quiàtoutpointM d’affixezavecz = b,associelepointM′ d’affixe z′ définiepar 6 z +1 2i z′ = − . z +2+i a. Calculerl’affixec′ du pointC′, imagedeC parf et placer lepointC′ surlafigure. b. Déterminerl’ensembleE despointsM d’affixez avecz = b, telsque z′ = 1. 6 | | c. JustifierqueE contientlespointsO et C. TracerE . 4. Dans comptedans l’évaluation. π On appelleJ decentreO et d’angle . −2 π On appelleK l’imagedupointC parlarotationr′ decentreO et d’angle . 2 On noteL lemilieude[JK]. du triangleOJK est lahauteurissuedeO du triangleOAC. Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Commun àtous les candidats) Soit (u n) nnonnulpar 1 u = 1 2 . n+1 u n+1 = u n 2n 1. Calculer u , u etu . 2 3 4 2. a. nnon nul,u est strictementpositif. n b. Démontrerquelasuite(u n) est décroissante. c. Quepeut-on endéduirepourlasuite(u n)? 3. Pour toutentiernaturel nnonnul,on pose u n v n = . n a. Démontrerquelasuite(v n) est géométrique.On