Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2012

EXERCICE1(5points) Communàtouslescandidats Soit f etb désignentdeuxréels. x a −∞ +∞ b f(x) −∞ −∞ 1. Déterminerlesignede f (x)selonlesvaleursdex. 0 2. O ; →−ı , →− ,onatracédeuxcourbesC etC . 1 2 ³ ´ 1 AetB d’ordonnées 2et respectivement. − 2 L’unedeces f de f etl’autre 0 delafonction f surR. C 2 ~ B j O ~ i C A 1 a. f . 0 Justifierlaréponse. b. Àl’aidedescourbesC etC ,prouverque1 a 2etb 0. 1 2 < < > 3. f f(x) 2f (x) x. 0 − = a. 2g (x) x. 0 − = 1 b. Démontrerquelafonction f g y. 0 − = 2 c. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’existence d’un réel k tel que pourtoutréelx, f(x) ke 1 2 x x 2. = + + d. A f etF ainsi quelesréelsa etb. 12MASCSME3 page2/5 EXERCICE2(5points) Communàtouslescandidats 1. on a. b. c. Calculer la probabilitéque la premièreboulesoit rougesachant que la seconde est noire. 2. Soitn LavariablealéatoireX a. Donnerl’expressiondep enfonctionden. b. Démontrer que la probabilité q que l’une au moins des quatre boules tirées soit n 4 4 noireesttelleque q 1 . n = −µn 4¶ + c. pourlequellaprobabilitéq estsupérieureou n égaleà0,9999? 12MASCSME3 page3/5 EXERCICE3(5points) Communàtouslescandidats )définiesurNpar n 1 7 u 3 u u ( ). 0 n 1 n = + = 2µ +u n ¶ ∗ u 0. n > 1 7 1. Ondésignepar f [par f(x) x . +∞ = 2µ +x¶ a. Démontrerquelafonction f admetunminimum. b. u >p7. n 2. a. Soitn Étudierlesignede u u . n 1 n + − b. )estconvergente? n 1 7 c. Ondéduitdelarelation( )quelalimiteL decettesuiteesttellequeL L . ∗ = 2µ +L¶ DéterminerL. 2 1 u p7 n 3. u p7 − . n + 1 − = 2 ¡ u n ¢ 1 4. Ondéfinitlasuite(d )par: d 1 d d2. n 0 = n + 1 = 2 n a. u p76d . n n − b. Voiciunalgorithme: Variables: n etp sontdesentiersnaturels. d estunréel. Entrée: Initialisations: Affecteràd lavaleur1. Affecteràn lavaleur0. Traitement: Tantqued 10 p. − > Affecteràd lavaleur0,5d2. Affecteràn lavaleurn 1. + Sortie: Affichern. ? 5 Justifierqueu 9près. 5 − 12MASCSME3 page4/5 EXERCICE4(5points) enjustifiantlaréponse. àuneréponsenonjustifiée. 1. Soit (E) 5x 6y 3,oùx et y sontdesentiersrelatifs. + = 3, 15k 2) + − − oùk estunentierrelatif. 2. par7estégalà6. O ; →−u , →−v . ³ ´ π Onnote Alepointd’affixe2 i etB l’imagedupoint AparlarotationdecentreO etd’angle . − 2 LepointC 3. Le pointC est l’imagedu