Aperçu du sujet
EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurR par f(x) = xe1−x . x 1)Vérifier quepourtoutréel x, f(x) = e× . ex en −∞. en +∞. 5)Étudierles variationsdelafonctionf surR puisdresserletableau devariation. PartieB Pourtoutentiernatureln nonnul,on considèreles fonctionsg et h définies surRpar : n n g n(x) =
EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurR par f(x) = xe1−x . x 1)Vérifier quepourtoutréel x, f(x) = e× . ex en −∞. en +∞. 5)Étudierles variationsdelafonctionf surR puisdresserletableau devariation. PartieB Pourtoutentiernatureln nonnul,on considèreles fonctionsg et h définies surRpar : n n g n(x) = 1+x+x2 +···+x n et h n(x) = 1+2x+···+nx n−1. 1)Vérifier que, pourtoutréel x : (1−x)g n(x) = 1−xn+1. 1−xn+1 On x 6= 1 : g n(x) = . 1−x 2)Comparerles fonctionsh et g′, g′ . n n n n nxn+1 −(n+1)xn +1 Endéduireque, pourtoutréel x 6= 1 :h n(x) = . (1−x)2 3)Soit S n = f(1)+f(2)+...+f(n), f lapartieA. Enutilisantles résultatsdelapartie B, puissalimite n quandntend vers+∞. Page2 /6 EXERCICE 2 (4points ) (commun à tous lescandidats) PartieA On considère le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l’es- −→ −−→ −→ pace durepère orthonormé A; AB, AD, AE . (cid:16) (cid:17) E H F K G b A D B C −→ 2)Démontrerquelevecteur n(1;−1;1)est un vecteurnormalau plan (BGE) et déterminer uneéquationdu plan(BGE). 3)Montrerqueladroite(FD) estperpendiculaireau plan(BGE) en un pointK decoordonnées 2 1 2 ; ; . (cid:18)3 3 3(cid:19) Déterminerson aire. 5)En déduirelevolumedu tétraèdreBEGD. Page3 /6 EXERCICE 3 (5points ) (Candidats ayantsuivi l’enseignement de spécialité) Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles pardes pages web. Des des’apercevoirque: 1 • Si un alorsil ira,soitsurlapageno2 aveclaprobabilité , 4 3 . 4 1 • Si un aveclaprobabilité ,soitil 2 1 1 restera surlapageno2 aveclaprobabilité , soitilirasurlapageno3 aveclaprobabilité . 4 4 1 • Si un aveclaprobabilité ,soitil 2 1 1 ,soitilrestera surlapageno3 aveclaprobabilité . 4 4 Pourtoutentiernatureln, ondéfinit lesévènementset les probabilitéssuivants: A n : surlapageno1» et onnotea n = P (A n). B n : surlapageno2» et onnoteb n = P (B n). C n : «Après surlapageno3» eton notec n = P (C n). 1 1 n, on aa n+1 = b n + c n . 2 2 1 1 1 3 1 1 Onadmet que,demême, b n+1 = a n + b n + c n et c n+1 = a n + b n + c n . 4 4 4 4 4 4 Ainsi: 1 1 a n+1 = b n + c n 2 2 1 1 1 b n+1 = a n + b n + c n