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EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) Soit f ; +∞[par 1 x f(x) = e + . x 1. Étude d’une fonctionauxiliaire a)Soit lafonctiong dérivable,définie sur[0 ; +∞[par g(x) = x2e x −1. b)Démontrerqu’ilexisteun uniqueréel aappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0. 0,704[. sur[0; +∞[. 2. Étude de
EXERCICE 1 (5points ) (Commun àtous les candidats) Soit f ; +∞[par 1 x f(x) = e + . x 1. Étude d’une fonctionauxiliaire a)Soit lafonctiong dérivable,définie sur[0 ; +∞[par g(x) = x2e x −1. b)Démontrerqu’ilexisteun uniqueréel aappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0. 0,704[. sur[0; +∞[. 2. Étude de lafonctionf a)Déterminerles limitesdelafonctionf en 0 et en +∞. b)On notef′ lafonctiondérivéedef surl’intervalle]0 ; +∞[. g(x) Démontrerquepourtoutréel strictementpositifx, f′ (x) = . x2 et dresserson tableaudevariationsur l’intervalle]0 ; +∞[. 1 1 m = + . a2 a e)Justifierque3,43 < m < 3,45. Page2 /7 EXERCICE 2 (5points ) (commun à tous lescandidats) Soient deuxsuites(u n)et (v n) définies paru 0 = 2 et v 0 = 10et pourtoutentiernaturel n, 2u n +v n u n +3v n u n+1 = et v n+1 = . 3 4 PartieA On Variables: N est unentier U, V,W sontdes réels Début : Affecter0 àK Affecter2 àU Affecter10àV SaisirN TantqueK < N AffecterK +1 àK AffecterU à W 2U +V Affecter àU 3 W +3V Affecter àV 4 Fintant que AfficherU AfficherV Fin On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnantl’état desvariablesau cours K W U V 0 1 2 PartieB 5 n, v n+1 −u n+1 = (v n −u n). 12 on posew n = v n −u n . n 5 n, w n = 8 . (cid:18)12(cid:19) n)est croissanteet quelasuite(v n) estdécroissante. n 6 10 et v n > 2. c)Endéduirequeles suites(u n) et(v n)sontconvergentes. Page3 /7 3)Montrerqueles suites(u n) et (v n) ontlamêmelimite. 4)Montrerquelasuite(t n) définiepart n = 3u n +4v n est constante. 46 n) et(v n) est . 7 Page4 /7 EXERCICE 3 (5points ) (commun à tous lescandidats) Tous dix-millième. Uneusinefabriquedes expriméen millimètres. Unebilleest 9mmou supérieurà11 mm. PartieA 1)OnappelleX sondiamètreexpriméen mm. Onadmet quelavariablealéatoireX 10et d’écart-type0,4. 1près norme est0,012 4. annexe. 2)On meten placeun desbilleshors normesontécartés et99 %des billescorrectes sontconservées. Onchoisitunebilleau hasarddans laproduction.On noteN l’évènement: «labillechoisie estaux normes», Al’évènement: àl’issuedu contrôle». a)Construireun arbrepondéréquiréunitles donnéesdel’énoncé. c)Quelleest norme? PartieB Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutesles etelles sontconditionnéesparsacs de100 billes. On normeest de0,012 4. On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 100billesdans On appelle Y la variablealéatoirequi à toutsac de 100billes associelenombrede billeshors norme decesac. ? 2)Quelssontl’espérance et ? billes