Sujet Mathématiques — Terminale — Antilles-Guyane — Bac 2014

EXERCICE 1 (6points ) (Commun àtous les candidats) leconcepteursaitque9 %des pasaux normes. À l’issuedes tests,ilest notéque • 96% despeluches répondantaux normessontacceptées parlestests; • 97% despeluches nerépondantpas aux normesnesontpasacceptées àl’issuedes tests. On prélèveunepelucheau hasard note • N l’évènement :«lapelucherépondaux normesen vigueur»; • Al’évènement: «lapelucheest acceptée àl’issuedes tests». PartieA 1)Construireunarbre àl’issuedes testsest0,8763. 3)Calculer aétéacceptée auxnormes dix-millième. PartieB On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ...).On tielledeparamètreλ. 1)On saitqueP(D 6 4) = danslecontextedecet exercice. 2)On prendraiciλ = 0,173 3. qu’elleest encoreen parfait état, dix-millième. PartieC À lasuited’une étude, il apparaît quepour un enfant dequatre ans, le nombrede jours, notéJ, où la = 358jours. J −358 1)Soit X = . Quelleest laloisuivieparX ? σ 2)On saitqueP(J 6 385) = Page2 /6 EXERCICE 2 (6points ) (commun à tous lescandidats) PartieA On considèrelafonctionf définieet +∞[par f(x) = xe −x. en +∞. 2)Déterminerladérivéef ′ delafonctionf sur[0 ; +∞[et en déduireletableau devariations def sur[0 ; +∞[. OndonneenannexelacourbeC f d’équationy = xaaussiététracée. PartieB Soit lasuite(u ) définieparu = 1 et, pourtoutentiernatureln, u = f (u ). n 0 n+1 n 1)Placer surlegraphiquedonnéen annexe, en utilisantlacourbeC et ladroite∆, les points f A , A et A d’ordonnées nulleset d’abscissesrespectivesu , u et u . 0 1 2 0 1 2 Laisserles tracés explicatifsapparents. 2)Démontrerparrécurrence quepourtoutentiernaturel n, u > 0. n 3)Montrerquelasuite(u )est décroissante. n 4)a)Montrerquelasuite(u )est convergente. n b)On ) est solutiondel’équationxe−x = x. n PartieC On considèrelasuite(S ) npar n k=n S = u = u +u +···+u . n k 0 1 n Xk=0 afin qu’ilcalculeS . 100 Page3 /6 EXERCICE 3 (3points ) (commun à tous lescandidats) On considèrel’équation(E ) : 1 ex −xn = 0 où xest unréel strictementpositifetn unentiernaturelnon nul. 1)Montrerquel’équation(E ) ) : 1 2 x ln(x)− = 0. n 2)Pourquellesvaleursden l’équation(E ) admet-elledeux solutions? 1 Page4 /6 EXERCICE 4 (5points ) (réservé aux candidats ayantsuivi l’enseignement despécialité) Dans appelées X et Y. ment.Deplus,chaqueannée, unecertaine sommeàchaque agence. Soit n un entier naturel. On note x la quantité de fonds détenue par l’agence X, et y la quantité de n n fondsdétenueparl’agence Yau expriméesen millionsd’euros. x 1 0 On noteU lamatrice n et onnoteI = . n (cid:18) y (cid:19) (cid:18) 0 1 (cid:19) n On supposeque le 1er janvier de l’année 2014, l’agence X possède50 millionsd’euros et l’agence Y possède10 millionsd’euros. 0,6 0,15 1 U = AU +B, où A = et B =