Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2015

15MASCSMLR1 Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Les résultats des probabilités seront arrondis à 103près. Partie 1 1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre , où  est un réel strictement positif donné. On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur 0 ; par f(x) e x. a. Soit c et d deux réels tels que 0cd. Démontrer que la probabilité P(cX d) vérifie P(c X d)e c e d . b. Déterminer une valeur de  à 103près de telle sorte que la probabilité P(X 20) soit égale à 0,05. c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X. Dans la suite de l'exercice on prend 0,15. d. Calculer P(10X 20). e. Calculer la probabilité de l’événement (X 18). 2. Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95. a. Calculer la probabilité de l’événement (20Y 21). b. Calculer la probabilité de l’événement (Y 11) (Y 21). Partie 2 Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts. Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici. De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici. 2/8 15MASCSMLR1 1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge. 2. Montrer qu’une valeur approchée à 103près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057. Pour la question suivante, on utilise cette valeur. 3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 €. Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans