Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2015

EXERCICE 1 (7points) PartieA R estnotée e(z). 1. 2. complexe eiθ (1−i). (cid:112) (cid:179) π(cid:180) 3. 2cos θ− . 4 PartieB (cid:112) (cid:179) π(cid:180) 2cos θ− . 4 Onconsidèrelesfonctions f etg f(x)= e −xcos(x) et g(x)= e −x. Ondéfinitlafonctionh C C C , et desfonctions f,g ethsontdonnées,enannexe, f g h dansunrepèreorthogonal. 1. Conjecturer: a) leslimitesdesfonctions f etg en+∞; C C b) lapositionrelativede parrapportà ; f g C C c) lavaleurdel’abscisse x et est f g maximal. 2. Justifierque C estsituéeau-dessusde C surl’intervalle[0;+∞[. g f 3. Démontrer que la droite d’équation y =0 est asymptote horizontale aux courbes C f C et . g 4. a) Onnoteh (cid:48) surl’intervalle[0;+∞[. (cid:179) (cid:112) (cid:179) π(cid:180) (cid:180) (cid:48) (x)= e −x 2cos x− −1 . 4 (cid:104) π(cid:105) (cid:112) (cid:179) π(cid:180) b) 0; , 2cos x− −1 (cid:62) 0etque, (cid:104)π (cid:105) (cid:112) (cid:179) 2 π(cid:180) 4 surl’intervalle ;2π , 2cos x− −1 (cid:54) 0. 2 4 c) surl’intervalle[0;2π]. 5. définiepar 1 H(x)= e −x(−2+cos(x)−sin(x)) 2 OnnoteD C et C ,etlesdroitesd’équa- f g tionsx=0etx=2π. Calculerl’aireA 15MASCSPO3 Page2/6 EXERCICE 2 (5points) PartieA On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nano- grammes par millilitre (ng.mL −1), d’une substance Gamma présente dans le sang est plus atteintes. 1. quisuitlaloinormale étudiée. à60ng.mL −1. 2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les −1 etque10%d’entreelles −1. (cid:48) On appelle T la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL OnadmetqueT (cid:48) etd’écart-typeσ(cid:48) . . PartieB dère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45ng.mL −1. • M • D Onadmetque: • • 1. 2. CalculerP D 3. Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu’il n’a PartieC 15MASCSPO3 Page3/6 effectuéeàjeun. EXERCICE 3 (3points) ABCDEFGH estuncube. I estlemilieude[AB], J estlemilieude[HD]etK estlemilieude[HG]. (cid:179) −→ −−→ −→(cid:180) Onseplacedanslerepère A;AB,AD,AE . −→ 1. DémontrerquelevecteurCE 2. 3. Soit M M surladroite(CE) EXERCICE 4 (5points) Pourtoutentiernatureln positifsden. 1. 2. a) supérieurouégalà2,S(n) (cid:62) 1+n. b) telsqueS(n)=1+n? 3. distincts. a) b) «Pour tous entiers naturels n et m non nuls distincts, S(n×m)=S(n)×S(m)». 4. s’écritpk,oùp estunnombrepremier etk a) 1−pk+1 b) EndéduirequeS(n)= . 1−p 5. On suppose dans cette question que n s’écrit p13×q7, où p et q sont des nombres premiersdistincts. 15MASCSPO3 Page4/6 a) Soitm unentiernaturel. avec0 (cid:54) s (cid:54) 13et0 (cid:54)