Sujet Mathématiques — Terminale — Pondichéry — Bac 2015

EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats Partie A 3 Soit f la fonction définie sur R par f(x)= . 1+ e-2x Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal ( O ; i , j ), la courbe représentative (cid:2) de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3. ∆ (cid:2) 1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R. 2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe (cid:2). 3. Démontrer que l’équation f(x) = 2,999 admet une unique solution α sur R. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10- 2. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 3 - f(x). 1. Justifier que la fonction h est positive sur R. 3 2. On désigne par H la fonction définie sur R par H(x)= - ln(1 + e-2x). 2 Démontrer que H est une primitive de (cid:2) sur R. 3. Soit (cid:3) un réel strictement positif. a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale ∫a h(x)dx. 0 15MASCSIN1 Page 2 / 6 b. Démontrer que ∫a h(x)dx = 3 ln  2   . 0 2 1 + e-2a   x(cid:4)0 c. On note (cid:4) l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par  . f(x)(cid:3) y(cid:3)3 Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine (cid:4). EXERCICE 2 (5 points) Commun à tous les candidats Partie A ( ) Soit u la suite définie par son premier terme u et, pour tout entier naturel n, par la relation n 0 u = au + b (a et b réels non nuls tels que a „ 1). n+1 n b On pose, pour tout entier naturel n, v =u - . n n 1- a ( ) 1. Démontrer que la suite v est géométrique de raison a. n ( ) 2. En déduire que, si a appartient à l’intervalle ] - 1 ; 1[, alors la suite u a pour limite n b . 1- a Partie B En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante. 1. Quelle sera la hauteur de la plante